Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
и аккуратно пользовался ею всюду, где это необходимо. Например, начало
его статьи, обсуждаемой здесь, посвящено доказательству сходимости ряда
Е("1+я|+ ••• +^Г
при а > v/2, а также более общих рядов такого типа. В наши дни все это
общеизвестно и не нуждается в повторении. С другой стороны, равномерная
сходимость не была известна Эйзенштейну. Он неявно и без доказательства
принимает, что вводимые им ряды аналитических функций можно
дифференцировать почленно; возможно, по этой причине Вейерштрасс
игнорировал его работу. На самом деле этот пробел легко восполнить. Если
бы потребовать этого от Эйзенштейна, он мог бы рассуждать так. Рассмотрим
в качестве типичного примера ряд X (* + у)~п, появляющийся в его теории
тригонометрических функций (гл. II). Отбросив конечное число членов, мы
должны рассмотреть абсолютно сходящиеся ряды
+ оо +°°
fn(x) = X (х + Iх) " + 2 {х - ц) " (п ^ 2)
М=м ц=Л1
+ оо
ш= ? Ьттг+т^г).
li=M
*) "У меня не осталось времени". - Прим. перев.
14 Часть I. Эйзенштейн
где М > 1 - целое число. Пусть f(x) - любой из этих рядов, ФцМ -его Ц-й
член. Разложим Фр(*-|-г/) по биномиальной формуле в степенной ряд по у:
+ оо
%(х+у)= Z %,т(х)ут.
т=О
Тривиальная оценка показывает, что двойной ряд ? Фц, т(х)ут
р., т
абсолютно сходится при |х|^М - 1,1 у I < 1. Следовательно, мы можем
написать
f(x + y) = Z ГЕфи.тМ') Ут-
т=0 \ р /
Но коэффициент при ут, с точностью до очевидного постоянного множителя,
совпадает с рядом, который получается из f(x) m-кратным почленным
дифференцированием. Это оправдывает допущения Эйзенштейна. В дальнейшем
все подобные проблемы мы обходим молчанием.
глава II
Тригонометрические
функции
§ 1. Как показал Эйзенштейн, его метод построения эллиптических функций
прекрасно работает в более простом случае тригонометрических функций.
Сверх того, этот случай не только служит поучительным введением в теорию
Эйзенштейна, но и доставляет простейшие доказательства ряда фактов,
открытых Эйлером и нужных для дальнейшего. Метод основан на рассмотрении
рядов вида
+ оо
ел(*) = Е (х + ц)~п>
ц = - ОО
где п ^ 1 - целое число. Случай п > 1 не требует объяснений. Чтобы
работать с п = 1, введем символ ("суммирование по Эйзенштейну"
однократных рядов), который определяется формулой
+м
Ее = lim Е •
М- М->+оо ц = - М
После этого определим ряд ег как
6i(x) = Y' --.
v 7 l-je х + IX
IX
Поскольку ряд гп абсолютно сходится при п ^ 2, очевидно, что для этих п
функция гп периодична с периодом 1. То же верно для еь потому что члены
этого ряда стремятся к нулю при р-^ + оо. Дифференцируя почленно (см.
последние замечания в гл. I), находим den/dx =-тп+\ при всех п ^ 1.
16 Часть I. Эйзенштейн
Разлагая (х + ц)_п при п^1, цфО, |х|<1 в степенной ряд по х, получаем для
функции еп(х)- х~п ряд, сходящийся при |х| < 1. Для п = 1 он имеет вид
+ 00
ei(*)= у - Y, Yтхт~1,
т=1
гДе Ym = О ПРИ нечетных т. и
+ оо
У 2т = 2 Z Ц-2т.
ц = 1
Дифференцируя ti-1 раз, получаем
+ 00
М*) =-^п+{- (2т_ / ) Y2m^2m_n,
m = l ' П 1 '
(2т -\\
где "биномиальные коэффициенты" I _ ^ I равны нулю
при 2т << п. Очевидно, функция еЛ(л:) четна или нечетна по х в
зависимости от четности или нечетности п. Для каждого п ^ 1 коэффициент
у(tm) совпадает со значением еп{х)- х~п при х = 0.
§ 2. Следующей вопрос: как получить нелинейные соотношения между
функциями еп? Для Эйзенштейна отправной точкой служат тождества с
рациональными функциями. Возьмем две независимые переменные р, q и
положим г = р + q. Деля на pqr, получаем
-=-+-• (о
pq рг 1 qr w
Более общо, для целых чисел т, 1 имеем
1 V"' п (п + 1) ... (п + h - 1) | V4 т(т +
\) ,,, (т + k - I)
Еп(п+ 1) ... (n + h - 1) , у
h_Q h\pm~hrn+h 1~о Щп~кгт+к
(2)
Это тождество можно вывести из (1), дифференцируя т - 1 раз по р и п - 1
раз по q. Можно также рассматривать (2) как разложение р~т(г - /?)"п на
простые дроби, считая это выражение рациональной функцией от р, а г
константой. При т = п = 2 получаем
Ь п2г2 Н" пгЗ Н" пг* * (3)
p2q2 р2г2 . д*г* . рГо . qr
II. Тригонометрические функции, § 4 17
Положим в (3) р = х-\- (л, q = у + v - р,, а также z = = х-\-у\ тогда r =
z-\-v. Применим к (3) "суммирование по Эйзенштейну" по pi, считая v
постоянным. Получим
(Р_2<Г2 - P~2r~2 - q~2r~2) = 2г_3 [в! (х) + е, (у + v)].
И
Здесь можно заменить в! (у + v) на (у), а на X, ибо
ряд абсолютно сходится. Теперь суммирование по v приводит к тождеству
е2 (х) е2 {у) - е2 (х) е2 (2) - е2 (у) е2 (2) = 2е3 (2) [ej (*) + (у)],
(4)
потому что все нужные ряды абсолютно сходятся. Это - формула сложения для
функций е.
§ 3. При данном нецелом значении х обе части (4) как функции от у имеют
двойной полюс при у = 0. Разложив их в степенные ряды по у, немедленно
получаем, что коэффициенты при у~2 и у~1 в обеих частях одинаковы.
Сравнение постоянных членов дает:
Зе4 (х) = е2 (л;)2 + 2вг (х) ег(х). (5)
Аналогично, при данном х рассмотрим обе части (4) как функции от 2 и
разложим их в ряд вблизи 2 = 0. Сравнивая постоянные члены, находим
