Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно результатам пункта 27.7 разложение в квантовой теории гравитации идёт по безразмерному параметру (Zp Л), где Л -некий существенный для теории размерный параметр. Так как согласно (27.147) квадрат планковского масштаба пропорционален постоянной Планка, то низшие порядки по параметру (IpA) эквивалентны полуклассическому приближению, а условие Ip А <<С 1 является необходимым для справедливости квазиклассики. В нашем случае вместо параметра (IpA) мы должны пользоваться безразмерным параметром У(ф), определённым согласно (28.10). Таким образом, для справедливости квазиклассического приближения необходимо выполнение условия
(28.13)
Если это условие не выполнено, то необходимо учитывать высшие квантовые поправки, и квазиклассическое приближение окажется неверным.
Положим р= 1 и рассмотрим уравнение (28.12) при а —)• 0, когда U —Ь 0. Если опустить потенциал, то решение этого уравнения имеет вид
Ф = ak (C1 екф + C2 е~кф).
Если Re к < 0, то решение имеет особенность при a —> 0, что считается неприемлемым. Если Re к = 0, Imk ф 0, то при a —Y 0 мы
338 имеем осциллирующее решение, что также предполагается неприемлемым. Поэтому будем полагать, что если Re к = 0, то и Im к = 0. Если Rek > 0, то Ф(а = 0,^) = 0. Следовательно, в любом (из приемлемых) случаев волновая функция удовлетворяет граничному условию
Сделаем предположение, что потенциал У(ф) является медленно меняющейся функцией ф:
Из соотношений (28.12) - (28.15) вытекает, что для достаточно малых а волновая функция также является медленно меняющейся функцией ф. Поэтому мы можем пренебречь производными по ф в уравнении (28.12) и изучать уравнение
в котором ф является параметром. Таким образом, с формальной точки зрения, задача свелась к изучению в квазиклассическом приближении волновой функции частицы с нулевой энергией, движущейся в одномерном потенциале U. Минисуперпространство (а, ф) разбивается на области, где U > 0 и U < 0. Область, где U > О, является классически недоступной. В этой области волновая функция ведёт себя экспоненциально. Область, где U < 0, - классически доступна, и в ней волновая функция осциллирует. В классически доступной области может быть волна, уходящая от особой точки а = 0, приходящая к точке а = 0 или их суперпозиция. Поэтому возникает проблема выбора волновой функции.
Сначала мы опишем волновую функцию, предложенную и разработанную Виленкиным с соавторами в работах [42-44], [45-47]. Эту волновую функцию авторы называют туннельной и обозначают Фт.
В полуклассическом приближении фактор упорядочения операторов влияет лишь на предэкспоненту. В рассматриваемой задаче удобно положить р=—1. Тогда при помощи подстановки
Ф (а = 0 , ф) = const .
(28.14)
(28.15)
(28.16)
Z =
-(2 У)'2'3 (1-а2 V)
(28.17)
339 уравнение (28.16) приводится к виду
iL
dz2
+ z Ф = 0.
(28.18)
Заметим, что 2 = 0 соответствует классической точке поворота U = O или значению а2 = У-1. Область z У 0 является классически доступной.
Как известно, уравнение (28.18) решается точно. Для нахождения квазиклассических волновых функций следует перейти к пределу I г I —оо в точном решении.
Согласно гипотезе Виленкина, в классически доступной области волновая функция Вселенной состоит из одной уходящей волны. Чтобы её выделить, заметим, что согласно (28.9) ра = — (aa)/N и JV > 0 (если бы мы имели N < 0, то коэффициент перед ф~ в лагранжиане (28.9) имел бы неправильный знак). Поэтому уходящей волне, когда, а У 0, соответствует отрицательное значение импульса ра. Таким образом, в квазиклассических областях, где j 2 I 1, волновая функция Виленкина имеет вид
Фт = Ce-^Z4Z'1'4 ехр
2 і
,3/2
г > 0 ,
(28.19а)
Фт = С I Z I
-1/4
ехр
|3/2
:|3/2
Z < 0.
3 ' " ' У + 2ЄХЧ~І
(28.196)
Обычно второе слагаемое в (28.196) опускают, так как оно экспоненциально быстро убывает при z —» —оо по сравнению с первым слагаемым. Однако в переходной области при | z | ~ 1 оба слагаемых имеют один порядок. Нормировочная константа С в (28.19) может зависеть от переменной ф. Подбирая С(ф) так, чтобы граничное условие (28.14) было выполнено, и отбрасывая второе слагаемое в (28.196), находим
фт =е-(-)/4 {а2у_ !)-1/4
ехр
1 + і (а2 V - I)3/2
Фт = (1 - а2 V)
-1/4
ехр
ZV
[I-O2VfI2-I 3V
a2 V> 1,
(28.20а) а2 V < 1. (28.206)
340 Заметим, что волновая функция (28.206) не имеет особенности при V = O и имеет смысл как при положительных, так и при отрицательных значениях V.
Легко непосредственно проверить, что при выполнении (28.15) решение (28.20) действительно удовлетворяет условию
<9Ф
да
1
» -
а
<9Ф
Волновую функцию Виленкина можно интерпретировать следующим образом: в этом состоянии Вселенная в интервале 0 < а < < І/л/V находится в классически недоступной области, где время является мнимым, а при а > 1 j\/V появляется вещественное время и Вселенная начинает расширяться согласно классическим уравнениям. Таким образом, согласно теории Виленкина, Вселенная рождается из "ничего" и расширяется при возрастании времени.
