Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обратим внимание на то, что "время" г, разделяющее гиперповерхности X' и X, в теории гравитации не имеет объективного смысла, являясь координатным временем. Собственное время между гиперповерхностями X' и X также не может быть определено в интеграле (28.5), поскольку оно зависит от пространства У и пути, соединяющего граничные гиперповерхности. Поэтому в интеграле (28.5) бессмысленно стремить т к бесконечности. Имеет смысл лишь определить то множество пространств С = {У}, по которым идёт суммирование в (28.5). Кроме того, пространство X' можно непрерывно деформировать произвольным образом. При этом волновая функция основного состояния, определённая на суперпространстве над гиперповерхностью X, не должна изменяться. Поэтому естественно считать, что пространство X' стянуто в точку. В этом случае интеграл (28.5) трактуется как амплитуда рождения Вселенной из "ничего", и одновременно этот интеграл даёт волновую функцию основного состояния Вселенной.
P
(28.6)
335 С формальной точки зрения волновая функция (28.5) удовлетворяет уравнениям (25.4) и (25.50). Действительно, волновая функция, удовлетворяющая уравнениям (25.4) и (25.5), является калибро-вочно-инвариантной, и наоборот. Но волновая функция (28.5) формально калибровочно-инвариантна, так как суммирование в (28.5) идёт по классам калибровочно-эквивалентных полей.
В окончательном виде прескрипция Хартли и Хокинга сводится к следующему: волновая функция основного состояния определяется евклидовским интегралом (28.5) по классу С = {У } компактных гладких пространств У с локально евклидовой метрикой и границей X = дУ, на которой метрика QiJ является аргументом волновой функции основного состояния.
Фактически прескрипция Хартла и Хокинга является новым физическим законом.
Поскольку подынтегральное выражение (28.5) вещественно, то согласно прескрипции Хартла и Хокинга волновая функция основного состояния Вселенной является вещественной.
Следует указать также на слабое место в теории Хартла-Хокинга: евклидово гравитационное действие (28.6) не является положительно определённым (за счёт первого слагаемого). Поэтому доопределение интеграла (28.5) является сложной проблемой. Авторы сделали предположение, что интеграл (28.5) можно сделать сходящимся, если интегрирование по некоторым направлениям в суперпространстве сместить должным образом в комплексную плоскость. Однако к настоящему времени эта проблема не решена.
28.2. Минисуперпространственная модель
Поскольку в настоящее время решить уравнения (25.4) и (25.5) или вычислить функциональный интеграл (28.5) в полном суперпространстве не представляется возможным даже качественно, то большое значение имеют простые модели, которые, как предполагается, содержат в себе некоторые важные качественные свойства полной теории. При таком подходе огромный интерес представляет идея, реализованная ещё Фридманом в классической теории гравитации (см. § 21), и перенесенная в квантовую теорию. Согласно этой идее следует изучить квантовую теорию пространственно однородной модели "гравитация + скалярное вещественное поле". Как и в модели Фридмана, имеется лишь пространственная однородность, а во вре-
336 мени развивается динамика. Очевидно, в такой модели от всего суперпространства остаётся всего две степени свободы: пространственный масштаб a(t) и нулевая гармоника скалярного поля. Поэтому такая модель называется минисуперпространственной.
Следуя Фридману, предположим, что пространство является сферой переменного (во времени) радиуса и метрика в пространстве-времени имеет вид (сравни с (21.20))
du\ = dX2 + sin2 X (de2 + sin2 ed<f>2). (28.7)
Здесь N играет роль функции хода (см.(24.45)). Размерный множитель перед квадратной скобкой введён для удобства, так что радиус Вселенной a(t) оказывается безразмерным. Предположим также, что скалярное поле ф является однородным в пространстве. Тогда действие
S = J ^V=F } (28.8)
записывается в виде S = f dt С, где
Для удобства, следуя работе [43], мы ввели следующие безразмерные величины:
ф=-^=ф, ПФ) = ^У(ф). (28.10)
Точка сверху в (28.9) означает частную производную d/dt. Скалярная кривизна для метрики (28.7) фактически вычислена в § 21.
Пусть ра и рф - канонически сопряжённые импульсы переменных а и ф соответственно. Обычным путём получаем полный гамильтониан системы (сравни с (24.58)):
%Т = N(t) , (-P2a+^ Pl^j - U (а, ф) ,
Ul
1
Ya
337 U(a, ф) = а2 (1-а2 У(ф)). (28.11)
Функция хода N является множителем Лагранжа, а - связью первого рода. Поэтому волновая функция удовлетворяет уравнению связи
' д2 . р д Id2
да2 а да
^ wu{a'
ф = о,
(28.12)
которое играет роль уравнения Уилера-ДеВитта (25.4). Здесь безразмерное число р отвечает за упорядочение операторов в кинетической энергии, которое нам неизвестно.
Минисуперпространством рассматриваемой модели является многообразие 0 < а < оо, —оо < ф < оо.
28.3. Квазиклассическое приближение
Поскольку для физически интересных потенциалов уравнение (28.12) не может быть решено точно, то его решают в квазиклассическом приближении.
