Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
d : Vl0X—>WX, f t-ї df ,
которое линейно и
d{fg) =df-g + f-dg
для любых двух функций fag.
Оказывается, что отображение d естественным образом распространяется на дифференциальные формы любой степени.
Предложение 1. Для любого гладкого многообразия X и любого г > 0 существует единственное отображение
d : WX —>¦ W+1 X , обладающее следующими свойствами: 1°. Отображение d линейно.
2°. Отображение d является антидифференцированием, т.е. для форм виш имеет место равенство
d{6 Aw) = de Alo + (-l)r0 Л du ,
где г - степень формы в.
3°. Для любого гладкого отображения f : X —у У и любой формы ш на У имеет место равенство
df*Lo = f* du.
4°. Для каждой функции f Є Q0X форма df является ее дифференциалом: df = df/dx' dx'.
ЗО 5°. Если LO = df, где f <Е Q?X, то du> = 0.
Доказательство. Докажем сначала единственность. Пусть (U, X1,..., хп) - произвольная карта многообразия X, и пусть
и\и = Wi1...jr dx'1 А ... A dx'r. В силу свойств I0 — 5° немедленно получаем, что
d{L0\u) = duh Ir AdzilA.. .Adxir = дшіі:іг dxiAdxhA.. .Adxir. (5.1)
OX1
Следовательно, форма d(u>\u), а значит, - в силу произвольности координатной окрестности U - ш форма du> однозначно определяется формой LO. Это означает, что отображение d единственно.
Чтобы доказать его существование, мы на каждой координатной окрестности U определим форму d{L0\u) = d,LOu посредством формулы (5.1). Если (U, Xі,..., хп) и ([/', X1 ,..., хп ) - две карты многообразия X и если
W = Wll...ir dx'1 A ... A dxlr на U и
W = wIl1...!^ dx'1 А ... A dx'r на U1 , то
дх'1 дх'г ТТ .
^-'V = ^1..,' на U HU ,
и. значит,
^Wi1. jr дх'і д2хг'ь дх'г дх'і dx''? <9w,-/ ..,v
дх* ~ ^ дх''' Oxi dx** ''' дх'г Ш,ї"''г +дх^ ''' дх^ дх' ' a=i
(5.2)
С другой стороны, для любой функции /
d2f
—і— dx' Adxj =Q, OX' 0X3
ибо dx' A dxJ = —dxi A dx'. Поэтому
V^... fj- ¦ ¦ -^1-Ui' »' ^dxiAdxilA.. .AdxikA.. .Adxir = 0 . дхч дх'дх'ь dx'r ч-'г
jc = і
31 Следовательно, на UOU'
дШі" \Лг dxЛ dxh Л ... Л dx'r = " дхг
дх<* Oxi'- дш{. . .
= т— ... --TT-^dx' A cte11 Л ... Л dx,r =
дх'1 dx'- дх1
, Л Idxi^jA (дх*' J А
dx ) Л dx'1 Л ... Л —— dx'r =
дх' J ydx'i J удх'г J
., Зші' i> ., ., .,
= dwi> і> A dx'1 Л ... Л dx'r = ,,1., r dx' A dx'1 A ... A dx'r, ''¦¦'¦¦ dx'
т.е.
du>u = dLOjji ¦
Таким образом, формы duifj согласованы на пересечениях и, значит, составляют дифференциальную форму du.> степени г + 1 на многообразии X, обладающую тем свойством, что
йш I и = dusjj
для любой координатной окрестности U. Тем самым отображение
d : WX —у W+lX
построено. Ясно, что оно обладает свойствами I0 и 4°. Кроме того, для любой функции / Є FX в каждой карте (U, х1,..., хп) имеет место равенство
что доказывает свойство 5°.
Проверку свойства 2° достаточно произвести в произвольной карте (U, ж1,..., хп). Кроме того, в силу линейности оператора это свойство достаточно проверить лишь для "одночленных" форм вида
в = fdxa , w = gdx? ,
где положено
dxa = dx'1 Л ... Л dxir и dx? = dxjl Л ... Л dxj*.
32 Но для таких форм
d{6 Alo) = d(fgdxa Adx?) =
= d(fg) A dxa Adx? = (df • g + f • dg) A dxa A dx? =
= df A dxa Ag dx? + (-l)r (/ dxa) A {dg A dx?) = dB А и + (-l)r в A du ,
что и доказывает свойство 2°,
Аналогично, свойство 3° достаточно проверить на координатных окрестностях (U, xі,..., хп) и (V, у1,... ,ут). удовлетворяющих соотношению fU С V. Пусть у3 = f3 (ж1,..., хп), j = 1,.. ., т. и dy3 = ду3 /дх' dx' - 1-формы пространства TpX. Тогда (см. (4.19))
d(f*w) = (^fk 0 f^j dy3 A dy31 А ... A dtf" . (5.3) С другой стороны,
dw = dwI1:3- dy3 Adyjl A... A dy3r.
оу3
где 1-формы dyk являются базисными 1-формами в карте (V, у1,..., ут). Поэтому, согласно (4.19) и (4.20),
f'(dw) = (-?^" о dy3 A dy31 А ... A dy3' ,
что совпадает с (5.3). Следовательно,
d(f*L0)=r(dL0).
О
Определение 1. Форма dw называется внешним дифференциалом формы и. ?
Пример. Для линейной формы a = aj dx3 имеем
da =^l dx' Adxj = dx> д dxJ .
дх' 2 V дх1 дх3 J
Предложение 2. Для любой дифференциальной формы w имеет место равенство
d dw = 0 .
33 6. Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса
Определение 1. Карты (U, х1,.хп) и (U', х1',..., хп') п-мерного многообразия X называются положительно согласованными, если либо U П U' = 0, либо U П U' ф 0 и det (дх'/дх) > О на U HU1, т.е. если в каждой точке р Є U П U1 базисы
касательного пространства TpX одноименны. Атлас, состоящий из положительно согласованных карт, называется ориентирующим. Многообразие X, на котором существует хотя бы один ориентирующий атлас, называется ориентируемым. ?
Ориентируемое многообразие, в котором выбран ориентирующий атлас, называется ориентированным, а выбранный атлас называется ориентацией. Карты, принадлежащие ориентации ориентированного многообразия, называются положительно ориентированными (или просто положительными).
Нетрудно установить, что на связном ориентируемом многообразии существуют две и только две ориентации. Эти ориентации называются противоположными. Если X - многообразие с одной ориентацией, то снабженное противоположной ориентацией оно обозначается —X.
