Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
{dx^ Л... Adxt^iX1, ...,Xr) = Xfc...Xiry (4.6)
Сравнение (4.3) и(4.6) показывает, что любая г-форма может быть представлена в виде
W = Wil...,V dxh A .. .Adxir. (4.7)
По определению внешнее произведение базисных г- и s-форм задается правилом
[dx{l Л ... Л dxir) A (dxir+1 А ... A dxir+') = dxh A... A dxir+' . (4.8)
Если потребовать, чтобы внешнее умножение было линейно по каждому сомножителю, то формулы (4.7) и (4.8) определят внешнее произведение любых г- и s-форм. Пусть 9 — s-форма, такая, что в карте ( U, Xі,..., х" ) в = Oi1...it dx'1 А ... A dx's. Тогда
ш А 9 = Loil. ..ir 9ir+1...ir+sdxil A... A dxir+' =
= И 0)i1...ir+, dxil A... A dxir+• . (4.9)
Здесь
(wAe)il...,-^. = Yl ...o(ir)eo(ir+1)...a(ir+,) ¦
Конечно, в последней формуле антисимметризация внутри первых г и последних S индексов излишняя. Удобно исключать лишние операции. Две перестановки <Т 1 И <72 (r + s) чисел <Tl(«l), ..., <Tl(v), Cl(v+i), •.., <Ti{ir+,) и <т2(п), . .., сг2(іг),сг2(гг+1), ..., <T2(v+s) эквивалентны, если эти перестановки переводятся друг в друга путем отдельных перестановок первых г чисел и последних s чисел; при
26 этом никакие перетасовки между первыми г числами и последними S числами не допускаются. Обозначим через а' какой-либо представитель класса эквивалентных перестановок. Тогда последняя формула переписывается в виде
j>!g! . ^
(W А = (r+s)| Y1 Є°' Sa'(ir+1)...a'(ir+,) • (4.10)
Нетрудно проверить, что из данных определений следует формула
(иАв)(Хи...,Хг+.) =
— ^ ?СТ'^(^СТ'(1), • • • , ^ст'(г)) в(Ха,(т+1), ..., X„l(r + S)) . (4.11)
CT'
Отсюда вытекает независимость внешнего произведения дифференциальных форм от выбора карты. Формула (4.11) может быть взята в качестве определения внешнего умножения дифференциальных форм.
Приведем свойства внешнего умножения:
1) Для г-формы W и s-формы в имеет место свойство кососимметричности:
ш Лв = (-1)" в Лш. (4.12)
2) Свойство билинейности (формы ви ф одного порядка):
шЛ[9 + ф) = шАв + шАф. (4.13)
3) Свойство ассоциативности:
[шАд)Аф = шА(вАф)=шАдАф. (4.14)
Все дифференциальные формы степени г > 0 образуют линейное пространство, обозначаемое QrX. Таким образом, Q0X = FX и Q1X = Т\Х. Заметим, что QrX = 0 для любых г > п. Из (4.6) и (4.7) следует, что
Пусть / : X —у У - произвольное гладкое отображение, а ш - произвольная дифференциальная форма степени г > 0 на
27 многообразии У. Каждой точке р Є X мы отнесем кососимме-трический тензор (f*u)p типа (г, 0), принимающий на векторах Xi, ..., Xr ETpX значение
(Гш)р(Хі,. ..,Xr)= шя( (df)pXi,..., (df)pXr ), (4.16)
где q = f(p) и (df)p : TpX —> ТЧУ - дифференциал отображения / в точке р. Если (U, Xі,..., хп) и (V, у1,..., ут) - такие карты многообразий X и У, что fU С V, и если
у> =fj(x\...,xn), J = I,.-.,т
- функции, выражающие в этих картах отображение f, то
^ШгШМІ •=>.....-
и потому
д
(Г
LO
р I Kdxi^ Jp'"''\дх* ,
«Vі А (ду>*\ (( д \ ( д
дх^ Jp ''' V dxir J рШя \\дуі> J q'' " \ду>', q/
для любых индексов ..., ir. Но согласно (4.15)
"'(Ш,.....Ш,)=г!ш'> -W = K
WH ((?.....м-
Поэтому в любой точке р карты (U, х1,..., хп) имеем равенство
(4л7)
показывающее, в частности, что функции (Z*w)ji..jr гладки на U. Мы видим, что формула
ГШ = (Zt^)jl...,V Cfaril Л ... Л dx*' (4.18)
28 определяет на U дифференциальную форму /*ш. Сопоставляя две последние формулы, мы можем написать также
г со = (wil.. Jr о /) ifyjl Л ... Л dtf' , (4.19)
если воспринимать dyi в (4.19) как 1-формы пространства TpX (см. (2.8)-(2.10)):
dy> = ^r dx' . (4.20)
Таким образом, формулы (4.19)-(4.20) автоматически определяют форму f*Lo при отображении / : X —У У.
Определение 2. О форме f*io говорят, что она получена из формы и переносом посредством гладкого отображения /. ?
Ясно, что отображение
/* : Qr У —> QrX , со и- fco
линейно и перестановочно с внешним умножением:
Г(0Лш)=/*0ЛГш
для любых форм в и ш на У. Последнее свойство проще всего проверить при помощи формул (4.9), (4.19) и (4.20).
Кроме того, если / : X —У У ш д : У —У 2,, то (д о /)* = = /* од*, а если / = id : X —У X - тождественное отображение, то f* : VlrX —У QrX - также тождественное отображение.
При г = 0, когда форма ш является гладкой функцией д : У —У R, мы имеем
rg = g°f-
Для произвольного подмногообразия У многообразия X и отвечающего ему вложения і : ^У —У X отображение
г* : WX —у ПГУ
является ничем иным, как отображением ограничения, переводящим форму W на X в форму сона У, для которой
(u>\y)p(Xi, ...,Xt)= Wp(Xi,. ..,Xr)
в любой точке р Є У и для любых векторов Xi,... ,Xr Є ТРУ (где, естественно, пространство ТрУ рассматривается как подпространство пространства TpX ).
29 § 5. Внешний дифференциал
дифференциальной формы
Каждая гладкая функция / на многообразии X определяет ковекторное поле df, которое в карте (U, х1,... ,хп) представляется согласно (2.10) в виде df = dfjdx% dx'. Таким образом, df есть дифференциальная форма степени 1. Мы имеем отображение
