Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если W1 - компоненты вектора в базисе (д/дхг)р, то величина ViWt не зависит от карты, т.е. является инвариантом. Это вытекает из (2.2) и (2.11).
Аналогично инвариантной записи вектора (2.5), любой ковектор V Є Т*X может быть записан инвариантным образом:
V = Vidxip. (2.12)
Разработанный аппарат дает возможность определить подмногообразие многообразия X.
Определение 4. Гладкое отображение / : У —у X т-мерного многообразия У в га-мерное многообразие X называется погружением в точке р Є У, если его ранг в этой точке равен т (что, конечно, возможно только при т < п), т.е. если отображение
dfp : Tp У —> TqX , где q = f(p)
является мономорфизмом (т.е. образ любого ненулевого вектора не равен нулю). ?
Определение 5. Гладкое многообразие У называется подмногообразием многообразия X, если оно содержится в X, и соответствующее отображение вложения
г : У —> X , i(p) = р
19 является погружением в любой точке р Є У. О
Примем без доказательства, что для любой точки р подмногообразия У существует такая карта ([/, г1, ..., хп ), р Є U многообразия X, что, во-первых, на некотором открытом в У множестве VcUoy ограничения у1 = г1 |у, ..., ут = xm\v первых т координат X1,..., хт являются локальными координатами на V и, во-вторых, точка q (Е U тогда и только тогда принадлежит V, когда xm+1(q) = 0, .. ., xn(q) = 0.
Такие координаты х1, ..., хт мы будем называть согласованными с подмногообразием Очевидно, что для согласованных координат набор векторов (д/дх1)р,... (д/дхт)р является базисом в подпространстве Tp У пространства TpX.
Из данных определений следует, что край любого многообразия размерности п может рассматриваться как его подмногообразие размерности (га—1). При этом локальные координаты на X, согласованные с подмногообразием дХ, указываются в самом определении края многообразия (см. § 1, определение 5).
§ 3. Тензоры и тензорные ПОЛЯ
Пусть ( U, h) = ( U, X1, . .., і") - произвольная карта многообразия X, содержащая точку р. Эта карта определяет взаимно сопряженные базисы пространств TpX и Т* X:
ШР>-'ШР и rf^(зл)
Определение 1. Тензором Sp типа (a,b) на пространстве TpX называется отображение, сопоставляющее произвольному базису (3.1) набор па+ь чисел 5f11"fb, называемых компонентами тензора Sp в этом базисе. Компоненты тензора Sp в картах (U, h) и (U',h') связаны соотношениями (сравни с (2.2) и (2.11в):
S^-(9^-] f^i) S^ (3 2)
~ W'.Jp'" W°)р Wi)р¦ ¦ ¦ W'b)р¦ (6-Z)
?
20 3.1. Операции над тензорами Для тензоров типа (а, Ь) определена операция сложения
(s+T)tt = st±+TU: (з-з)
и умножения на число
№J: = x-siJ\ (3-4)
Кроме этих операций на множестве тензоров, определена операция тензорного умножения, обозначаемая символом Пусть имеется тензор Sp типа (а.Ь) и тензор Tp типа (c.d). Тогда, по определению, тензор Sp ®Тр = (S ® Т)р является тензором типа (a + c,b + d) с компонентами
(S^iztz=SiiJ: J::J:t:- (з-5)
Обобщение тензорного произведения на несколько сомножителей очевидно. Имеем следующие свойства тензорного произведения:
(XS®T)p = (S®XT)p = X(S®T)p , XeR, (3.6) ((R + S) ® Т)р = (R ® Т)р + (S® Т)р , (3.7)
((R® S) ® Т)р = (R® (S ®Т))Р . (3.8)
Последнее свойство позволяет записывать тензорное произведение не расставляя скобок: (R ® S ® Т)р. По отношению к операциям сложения и умножения на числа все тензоры типа (а. Ь) в точке р образуют линейное пространство.
Исходя из изложенного, легко представить базис в пространстве тензоров типа (а. Ь) в точке р. Это множество всех элементов гида
(dx% ® ... ® (dx% ® (J^) ® ¦ • ¦ ® (аУ • (3.9)
В базисе (3.9) тензор Sp имеет координаты S]1"'/'.
У тензора Sp типа (а,Ь) выберем любой верхний индекс js и любой нижний индекс V, положим их равными друг другу и просуммируем соответствующие компоненты тензора:
п
Eojl-..j,-lij....jb-l Sil-.-Jb-I
Jil...ir-1iir...ia-1 І і.. .І а — 1 '
І = 1
21 В результате получается тензор типа (а —1,6—1) (проверить, что это действительно тензор). Эта операция над тензором Sp называется сверткой.
Определение 2. Если тензор Sp задан для любой точки р Є X, то в карте (U, h) компоненты S/''"/' будут функциями от р или от Xі, ..., хп. Если эти функции гладкие, то соответствие р —у Sp называется гладким тензорным полем (или, короне, тензором) типа (a,b) на многообразии X. ?
Теперь соотношение (3.2) имеет место в каждой точке р многообразия X, откуда следует, что условие гладкости тензорного поля не зависит от выбора карты.
Замечание. Тензорное поле на многообразии можно рассматривать как соответствие, сопоставляющее каждой карте (U, h) многообразия X набор гладких функций ' на U и обладающее тем свойством, что для любых двух карт (U, h) и (U',h') на пересечении U CiU' имеет место соотношение (3.2). Это можно принять за определение тензорного поля. ?
Все алгебраические операции над тензорами автоматически переносятся на тензорные поля. Например:
(S ® R)p = SP®RP, (S + R)p = Sp + Rp .
Ясно, что из гладких полей при этом всегда получаются гладкие поля.
