Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим всю совокупность первичных и вторичных связей через фт, и пусть по-прежнему индекс т пробегает значения от 1 до M. Далее не делается различия между первичными и вторичными связями. Для непротиворечивости теории необходимо выполнение условий (23.16). При этом среди соотношений (23.16) или их линейных комбинаций отсутствуют соотношения, не зависящие от коэффициентов Um.
Обратим внимание, что любая линейная комбинация связей фт вида ф(д,р) = ст(д,р) фт(д,р) также является связью. Поэтому множество всех связей образует линейное пространство над гладкими функциями вида c(q,p).
Существенным является деление связей на связи первого и второго рода.
203 По определению, динамической величиной (в частности, связью) первого рода называется такая величина R(q, р), которая удовлетворяет условиям
[R, фт] & Q, m=l, ...,М. (23.17)
Связь фт, не являющаяся связью первого рода, называется связью второго рода.
Из данного определения вытекают следующие простые теоремы.
Теорема 1. Скобка Пуассона двух величин первого рода также является величиной первого рода.
Доказательство. Пусть R и S - переменные первого рода. Тогда согласно определению (23.17) и (23.14)
[Л, ф[ } = Hm Фт , [S, Фі ] = Sim фт . (23.18)
С учетом тождества Якоби (23.13)
[[R,S],<f>,] = -[[S, фі], -R] + [[Л, ^]S] =
= [Л, Slm фт ] - [S, Гіт фт } & 0 .
Последнее слабое равенство получается при учете (23.18). Таким образом, доказано, что величина [R, 5] является величиной первого рода. ?
Предположим, что, составляя линейные комбинации связей фт, мы выделили максимально возможное число связей первого рода, которые обозначим , j = 1, ..., J. Оставшиеся связи являются связями второго рода. Обозначим их Xs , s = 1, ..., S. Имеем J + S = M, 0 < J, S < M. Таким образом, S есть число связей второго рода, причем никакая их линейная комбинация не относится к связям первого рода.
Составим из множества скобок Пуассона вида [Xs,X«'] квадратную матрицу порядка S и рассмотрим ее определитель:
О [хьхг] [хі.хз] д_ [Х2, Xi] О [Х2, Хз]
[xsj Xi ] [XS,X2]
[Xi, Xs ] 1X2, Xs ]
(23.19)
[xs, Хз] О
204 Теорема 2. Детерминант Д не обращается в нуль даже в слабом смысле.
Доказательство. Предположим, что Д и 0. Покажем, что это предположение приводит к противоречию.
Если Д Ri 0, то ранг матрицы, стоящей под знаком детерминанта в (23.18), равен T < S. Без ограничения общности можно считать, что определитель матрицы, составленной из скобок Пуассона вида [х>, Xs'] Для s, s> = 1, • • •, Г, не равен нулю ни в сильном, ни в слабом смысле. Построим другой детерминант:
Xi 0 [xi, Х2 ]
А _ Х2 [X2,Xi] 0
Хт+1 [хт+1, Xi] ІХт+і, Хг]
Покажем, что скобки Пуассона детерминанта А с любой из связей первого или второго рода ф равны нулю в слабом смысле. Для этого достаточно увидеть, что детерминант
[ХъХт] [Х2,Хт]
• •' [Хт+1, Хт ]
(23.21)
слабо равен нулю. Если ф является связью первого рода, то первый столбец детерминанта (23.21) слабо равен нулю, откуда вытекает слабое равенство нулю и всего детерминанта. Если ф = \> Для какого-либо S, то детерминант (23.21) слабо равен нулю вследствие предположения. Действительно, если бы определитель (23.21) не равнялся нулю, то ранг матрицы в (23.18) был бы больше Т.
Разложим детерминант (23.20) по элементам его первого столбца:
А = cixi + ... + ст+хХт+1 • (23.22)
Вследствие сделанных предположений коэффициент ст+і не равен нулю в слабом смысле и линейная комбинация связей второго рода (23.22) является связью первого рода. Этот результат противоречит определению связей первого и второго рода.
1Хъ Хт ] [Х2, Хт ]
[Хт+1, Хт ]
. (23.20)
І,А].
[Ф,Хі] о [Х1,Х2]
[Ф, Хг] [Х2, Xi] о
[Ф, Хт+і] [хт+1, Xi] [хт+1, Х2 ]
205 Таким образом, доказано, что определитель (23.19) не равен нулю даже в слабом смысле. Попутно доказано, что число связей второго рода четно, поскольку любая невырожденная антисимметричная матрица имеет четный порядок. ?
Обозначим через Css/ матрицу, обратную к матрице [xs, Xs'], так что
с«' \Xs>, Xs"] = Sss" . (23.23)
Теперь вернемся к исследованию условий непротиворечивости динамической системы (23.16).
На условия (23.16) можно смотреть как на линейные уравнения, определяющие полностью или частично коэффициенты ит.
Будем считать для удобства, что фі = хъ • • •> <t>s = Xs _ все связи второго рода, а остальные связи ф§+1, ..., фм являются связями первого рода. Из Теоремы 2 следует, что матрица [фі, фт ] в (23.16) имеет ранг S, причем отличный от нуля минор составлен из коэффициентов при неизвестных «і, ..., us в уравнении (23.16). Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений (23.16) имеет решение тогда и только тогда, когда ранги матриц
Alm = [фі, Фт ]
и
/A11 ¦¦¦ Aim [Фі,К]\
Am = I ..................¦¦¦ \ , т=1, ..., M1M +1
\ Ami ¦•¦ Amm [фм,^Н] )
(23.24)
совпадают. Подчеркнем, что здесь требуется совпадение рангов матриц А и А в слабом смысле. Это значит, что вычисление рангов матриц следует проводить после-наложения связей фт = 0. Если же ранг матрицы А больше ранга матрицы А, то невозможно найти такой набор коэффициентов um, чтобы система уравнений (23.16) была удовлетворена. В этом случае динамическая система оказывается внутренне противоречивой.
