Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 53

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 123 >> Следующая


dja = -ooab Jb , (22.34)

йф — -Сф, dip = —ф 7° Ct 7° , (22.35)

где С - 1-форма со значениями в алгебре матриц Дирака. Это значит, что 1-форма С разлагается по шестнадцати независимым четырехрядным матрицам:

1, 7°, таЬ, 7V, 75- (22.36)

Для определения формы С будем исходить из того, что величины Ja = ф у" ф и фф при параллельном переносе изменяются как вектор и скаляр соответственно. Имеем

dJa = -ф (7°Ct7V + 7аС) ф = -ооаьфуь ф ,

d{ij ф) = -ф (J0CtJ0 + С) ф= 0. (22.37)

Отсюда получаем уравнения

7° Ct J0Ja +JaC = Loab jb , 7° Ct 7° + С = 0 .

Наиболее общее решение уравнений (22.38) имеет вид

(22.38)

C= ^ COab сгаЬ + і є А . (22.39)

Здесь A = A? dx** - вещественная 1-форма, не имеющая спинорной структуры. То, что (22.39) является решением уравнения (22.38), непосредственно проверяется при помощи уравнений (22.7) и (22.8). Комбинируя (22.39) и (22.35), находим ковариантную производную спинорного поля:

( д 1

Vrf = {V„rl>)+ 7° = ^7 ^ -Ф (\"аь»<таЬ + іеА^ . (22.40)

Vф=dx^lV|iф, Vrf = ^ + <таЬ + іе Ali ) ф,

189 Уравнение Дирака в искривленном метрическом пространстве со связностью, согласованной с метрикой, имеет вид

(-i7a e?XV + m)V = 0, iV~4>ya е? + тф = 0. (22.41)

Легко понять, что уравнение (22.41) инвариантно как по отношению к общекоординатным преобразованиям, так и по отношению к локальным преобразованиям ОНБ {еа }¦ Последнее свойство устанавливается так же, как и в (22.15). Общекоординатная инвариантность уравнения (22.41) вытекает из того, что при общекоординатных преобразованиях спинорное поле не изменяется:

ф(х') = ф(х'{х)), х' = х'(х). (22.42)

Теперь ясен физический смысл 1-формы A11 в операторе Vfl (22.40): поле A11 является калибровочным, в частности - электромагнитным.

Вычислим 4-дивергенцию фермионного тока. Для этого используем формулы (9.1) и (8.35):

Va/a = e" ¦ (22-43)

Теперь воспользуемся уравнениями (22.41) и (22.8). В результате простых вычислений получим

Va(^7a^) = 0. (22.44)

Из последнего уравнения следует, что если связность не имеет кручения, то сохраняется электрический заряд (см. (9.47)):

Q = J с13х^е°а(ФуаФ)- (22.45)

Вещественное действие для дираковского поля в искривленном пространстве (сравни с (22.16)) имеет вид

Si,= J d4x^ ^eZ (фуаЪ,ф-V^jy)-тфф}. (22.46)

Действие (22.46) инвариантно по отношению к общим преобразованиям координат, поскольку (V? ф ) есть инвариант по отношению

190 к этим преобразованиям.

Проверим инвариантность действия (22.46) относительно произвольных локальных преобразований ОНБ { еа }.

Рассмотрим сначала бесконечно малое локальное преобразование Лоренца, которое описывается формулами (сравни с (22.13'), (22.14) и (8.3'), (8.5))

ёа{х) = еа(х) - wba(x) eb(x), Ф(*)= (l + \"ab(x) <Та6) ф(х),

(? = w?„ + - OJcbOJacfi - OfiWb .

Здесь Wab = T]acwb - бесконечно малый параметр, зависящий от точки пространства. Легко убедиться, что

{І* U Я'""'6 ) ^ = ( 1 + ^ )(^4 ) Ф ¦

Отсюда и из (22.13) следует инвариантность действия (22.46) относительно бесконечно малых локальных преобразований Лоренца. Так как локальные преобразования Лоренца образуют группу Ли, то из сказанного вытекает также инвариантность действия (22.46) относительно произвольных локальных преобразований Лоренца.

Чтобы из действия (22.46) получить уравнения движения, следует во втором слагаемом перебросить производную с ф на ф:

S^=J ^х^ііеЧф-і^^ф-тпфф} + + ? J {^d?(V^e^a)-wba?e^ . (22.47)

Если кручение не равно нулю, то следует пользоваться формулой (9.38'), откуда

^ = 7=^,,-7^. (22.48)

Используя равенства (22.48) и (8.39), преобразуем действие (22.47) к виду

S4l=J {іе» ^yaVrf-тпфф+1-е'Т^ф^ф} .

(22.49)

191 Теперь, приравнивая нулю вариацию (22.49) относительно ф, находим уравнение для дираковского поля

IeTalaVll ф + ^т^^ф-тф = Q. (22.50)

Мы видим, что при наличии кручения уравнение Дирака (22.41) несколько изменяется. Тем не менее электрический заряд по-прежнему сохраняется. Действительно, вместо уравнения (22.44) теперь имеем

уДеЧф1аф) + т;иеЧф1аф = о, откуда (сравни с (9.39))

— (еЧф 7а ф ) + ( Г*Л + ТД ) (еЦф 7а Ф) = 0 .

Учитывая (22.48), окончательно находим 1 О

УГэ дх»

(V^eWla Ф)=0- (22.51)

Поэтому при наличии кручения электрический заряд (22.45) по-прежнему сохраняется (см. (9.43) - (9.47)).

22.3. Операции дискретной симметрии и алгебра матриц Дирака

Для полноты картины определим операции пространственного отражения и обращения времени, а также зарядового сопряжения.

А. Пространственная инверсия

В результате этой операции пространственные компоненты векторов изменяют знак, а временные компоненты остаются неизменными. Пусть штрих сверху означает преобразованные величины. Тогда

X10=X0, X1 = -X,

J'°(x°,x) = J0(X0t-X), j'(x0,x) = -j(x°,-x). (22.52)

Кроме того, мы потребуем, чтобы преобразованное дираковское поле так же, как и исходное поле, удовлетворяло уравнению Дирака.

192 Легко проверить, что если

ф'(х°, х) = фр(х°, х) = 7° ф(х°, - х), (22.53)
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed