Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
V : А(р) —> Rn ,
что для произвольных карт
(U, h) = (U, X1, ..., хп ) и ((/', ti) = (U', X1', ..., хп') из А(р)
векторы V(U ,h) = (v\ ..., vn) и V'(U' ,ti) = {v1', ..., vn') пространства Rn связаны формулой (2.1):
' P
Компоненты v' вектора V называются координатами вектора в локальных координатах карты (U, h). Обычно записывают: K= (v1, ...,vn). ?
Определение 2. Множество всех векторов многообразия X в точке р обозначается символом TpX и называется касательным пространством многообразия X в точке р. Касательное пространство многообразия X является линейным пространством над полем R относительно линейных операций, определенных формулами:
{V + W)(U, ft) = V[U, h) + W(U, h),
15 {XV)(U, h) = XV (U, h) для любых V, W Є TpX, X Єй. О
Таким образом, если
V = (vl, ...,vn), W=(w\...,wn)
то
V + W = (V1 + W1, ..., vn + wn )
и
AVr = (Av1, ...,Avn).
Имеется очевидный изоморфизм пространства TpX и Rn, который устанавливается следующим образом. В фиксированной карте (U, h) вектор V = (v1,..., vn) можно воспринимать как вектор в Rn, имеющий координаты (и1, ..., vn). Таким образом, изоморфизм
где Vt, г = 1 ..., п - координаты вектора V в локальных координатах карты ( U, h). Наоборот, координаты любого вектора из Rn можно считать координатами некоторого вектора V(U,h) в карте (U, h). Координаты этого же вектора в любой другой карте из ((/', h') G А(р) получатся при помощи формул пересчета (2.2). Подчеркнем, что изоморфизм (2.3) зависит от карты.
Векторы, переходящие при изоморфизме (2.3) в стандартный базис еі, Є'2, ¦ ¦ ¦, еп пространства Rn, обозначаются символами
Они составляют базис пространства TpX, причем координаты произвольного вектора V Є TpX относительно этого базиса - это в точности его координаты в карте ( U, h), т.е. если V" = (v1, ..., vn )
TpX Rn
(2.3)
задается на карте (U, h) соответствием
V(U, h)^(v\ ...,vn)eRn,
(2.4)
в (U, h), то
(2.5)
16 и наоборот. Так как запись (2.5) имеет место в любой карте и вследствие закона преобразования компонент вектора (2.2), имеем закон преобразования базисных векторов:
д \ ( Qxi \ f д
Oxi' J „ Xdxi'J Xdx1 > ' ^2'2 ^
Пусть X и У - два гладких многообразия размерностей пят соответственно, и пусть / : ,Y —> У - произвольное гладкое отображение. Пусть р?Х - точка многообразия и q = f(p) Рассмотрим карты ( U, h) = (U, Xі, ..., zn) и (V, к) = ( V, у\ ..., ут ) многообразий X ш У соответственно, такие, что р Є U и f(U) С К. Тогда имеем
^ = ^(*1. ¦••>*"), J = I,...,т,
где /J - некоторые гладкие функции. Матрица (<9/J/дх')р = = {дуі/дхг)р линейно отображает векторы V{U,h) в векторы W( V, к) согласно правилу
Ш е-«)
' р
Проверим корректность формулы (2.6). Пусть ([/', h') = = ([/', X1', ..., жп') и (1/', fc') = (У, у1', ..., ут') - другие карты многообразий X к У, причем р E U' и q Є V. Имеем цепочку равенств:
(д?\ 1 = dyi Jq \dx'JpV
д/\ (ojA (дх
dyi / Xdxi J Xdxi'
q - г -P ч / р
= ¦ (2-7)
Таким образом, определение (2.6) корректно. Это означает, что отображение (2.6) определяет линейное отображение касательных пространств _____________. .,.-..............____I
¦' ¦:і"/,й ЦЕНТР |
еЗ. Построенное отображение TsXТ^г^азы-отображения' f iB |Мы
• II
і
«КУРЧАТОК , . . ,•:;-:СТИТУТ» Ь
Определе:
вается диффері будем обозначать его символом (df)p или dfp. ?
Пусть / : X —> У к g '¦ У —> 2 гладкие отображения и (U, X1,..., хп ), (V, у1,..., ут ), (W, Z1,..., Z3) - такие карты многообразий Х,У и 2, что /(U) С V, g(V) CWmy = f(x), z = = д(у) ~ функции, задающие в этих картах отображения / и д. Кроме того, д о f : X —> 2 задается в указанных картах согласно 2 = g(f(x)). Тогда имеет место цепное правило
d{g°f)p = dgqodfp.
Здесь справа стоит композиция линейных отображений.
Рассмотрим частный случай, когда у = R. В этом случае отображение / : X —У R является гладкой функцией на X и дифференциал d fp называется дифференциалом функции f в точке р. Так как TqR = R, то градиент является линейным отображением TpX —У R, т.е. ковектором пространства TpX или вектором сопряженного пространства Tp X, которое также называется кокасатель-ным пространством многообразия X в точке р. По определению ковектор dfp на любом векторе V Є TpX принимает значение (см. (2.6)):
(2-Ю
Это значение называют производной функции } по вектору V и обозначают символом Vf = dfp(V).
Из данных определений и обозначений получаем (d/dx')pf = = {df/дхг)р для і = 1, ..., га, что и объясняет выбор обозначений (2.4). Отсюда видно, что базис пространства Т*X, сопряженный к базису (2.4) пространства TpX, состоит из ковекторов
dxlp,...,dxnp. (2.9)
Действительно, согласно (2.8)
^Ш=ШР=6{ и dxiiv)=
Таким образом, мы имеем разложение дифференциала любой функции по базису (2.9):
dfp =(^)/4- (2Ю)
18 Замечание. Обратим внимание на то, что градиент является не вектором, а ковектором. ?
Очевидно,
Ё1 = (IL
Bxi ^ дх1 J дх{'
Отсюда следует закон преобразования компонент ковектора при переходе от одних локальных координат к другим:
