Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
х-^И. (21.62)
Lfd
Здесь и далее под Lfd, Lsd и так далее подразумеваются длины соответствующих отрезков. Кроме того, все углы на рис. 3 чрезвычайно малы, порядка ~ 0,001". Из рис. 3 очевидны следующие соотношения:
? = S-B1, (21.63)
Lsd ? = Lod O1 , (21.64)
LFD=LOD(OI-O). (21.65)
Подставим Lfd из (21.65) в (21.62):
Теперь исключим угол ? из уравнения (21.64) при помощи уравнения (21.63) и затем исключим угол <5, воспользовавшись уравнением (21.66). В результате получается следующее уравнение:
0?-0 01-0g= 0, (21.67)
где
2 2гд Lsd
0 ( Lod + Lsd ) Lod
угловой радиус так называемого конуса Эйнштейна. Пусть
(21.68)
02
Тогда два корня уравнения (21.67) равны
402
u = \/1 + -sr>1- (21-69)
0i,2= 1-\в\(-1±и), (21.70)
174 и они обозначены на рис. 3.
Теперь исследуем вопрос о яркости "духов". Для простоты предложим, что "духи" фиксируются на фотопластинке, причем размеры объектива dy по оси у и dz по оси г (ось z направлена перпендикулярно к плоскости рисунка). Если бы дефлектор отсутствовал, то яркость изображения звезды S на фотопластинке была бы пропорциональна телесному углу:
-- АуАг (21.71)
( Lsd + Lod ,
Яркость "духа" L пропорциональна тому телесному углу, из которого лучи попадают в объектив фотоаппарата. Сначала свяжем изменение угла ? с изменением координаты у от нуля до dy. Из рис. 3 видно, что имеется соотношение
dy = Lsd d?-L0Dde1. (21.72)
Из (21.62) получаем, что
dS = — yy~ dLFD — — ^rQ2 SD d?. Lfd Lfd
Комбинируя (21.63) с последней формулой, находим
2гд Lsd
j d?_
fd
Последнее соотношение подставим в (21.72):
dy = (LSD + LoD)d?+2r°LrS2DLoDd?.
lFD
Исключим из этого выражения Lfd при помощи (21.65), затем воспользуемся определением (21.68) и равенством
ві u-l
(6>i-02)2 и + Г
В результате получим
d?
dy
Lsd + Lod
" = ?!. (21.73)
175 При изменении координаты г от нуля до значения dz испущенный луч SF\ отклоняется в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Обозначим соответствующее изменение угла испущенного луча df. Величины df и dz легко связать, если учесть, что интересующее нас движение является вращением плоскости рисунка вокруг оси SD. Простые вычисления приводят к формуле
df
dz
Ч1- (21-^4)
.Lsd + LOD J 2
Перемножая уравнения (21.73) и (21.74), находим, что "дух" имеет светимость, большую, чем у звезды S, в
Л, = (»-75,
раз. Аналогичные вычисления показывают, что светимость "духа" I2 увеличивается по сравнению со светимостью звезды в
(21.76)
4 и
раз.
Теперь учтем, что в рассматриваемой задаче все углы имеют порядок 0,001". Поэтому "духи" Jі и I2 неразличимы, их изображения сливаются, и суммарная светимость двух "духов" в
A = Ai +A2 = (2L77)
раз больше светимости нелинзированного источника S. Вследствие (21.69) величина А бывает большой тогда, когда параметр и велик. Поэтому при большом увеличении блеска звезды можно считать, что
Ak6J, (21.78)
то есть коэффициент усиления в этом случае равен отношению углового радиуса конуса Эйнштейна к угловому расстоянию между дефлектором и истинным положением звезды S. При строго соосном расположении звезды фона S и дефлектора (в —> 0) вместо двух изображений Ii и I2 образуется яркое кольцо угловым радиусом во (см. (21.70)), именуемое кольцом или конусом Эйнштейна.
176 Оценим угловое расстояние $12 между "духами" 1\ и I2. Согласно (21.70) 012 = I 0 I и ~ 200- Последняя оценка справедлива при 02 < 0Q. Если дефлектором является одна из ближайших галактик, то 0о имеет порядок нескольких угловых секунд. Наблюдать два изображения галактик или квазаров, разделенных угловым расстоянием в несколько секунд дуги, вполне возможно даже наземными средствами. Если же дефлектор имеет массу порядка массы Солнца и расстояние до него ~ 10 кпк (характерное для гало Галактики), то расстояние между "духами" Ii и I2 составляет величину порядка угловой миллисекунды. Наблюдать два изображения, разделенные расстоянием 0,001", с Земли невозможно. Оба изображения сливаются, усиливая наблюдаемую яркость свечения звезды. Это и есть эффект микролинзирования.
Поэтому эффект микролинзирования наблюдают по изменению блеска звезды S. Наблюдатель О, дефлектор D и звезда поля S обладают некоторыми скоростями, в результате звезда поля S движется относительно D с некоторой результирующей угловой скоростью. При этом принципиальный параметр 0 и, как следствие, коэффициент усиления являются переменными величинами. Если пространственная скорость дефлектора ~ 300км/с (типичные скорости в гало нашей Галактики), время пересечения звездой S конуса Эйнштейна составляет около одного месяца. Таким же является характерное время изменения блеска при микролинзиро-вании. Кривая блеска при микролинзировании одиночной звезды S является симметричной относительно момента времени, в который наблюдается максимальная светимость. Кроме того, ввиду независимости угла отклонения фотона в гравитационном поле от его частоты кривая блеска при микролинзировании точечного источника не зависит от длины волны фотона.
