Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
160 ua? не зависят от времени и dwa? = Suia?. Поэтому второе из уравнений (21.1) дает
dwa? = Л и} - L w« л ыр . (21.24)
Знак перед последним слагаемым в (21.24) диктуется тем, что теперь поднятие или опускание индексов а , /?,... приводит к изменению знака. Из (21.24) и (21.23) получаем
^+w^Aw^wjAwJ = --L ^ + I^ Wa Aw?,
откуда
< = -^(^ + і) * W). ^7O = 0 . (21.25)
При помощи уравнений (21.22) и (21.23) и первого из уравнений (21.1) находим
Последнее слагаемое при помощи (21.23) переписываем в виде —W? Л Wq. Поэтому
^+с,^=^-^) WtW
• 1
а (Г
Из (21.25) и (21.26) находим ненулевые компоненты тензора Риччи:
= + ? + = (21.27)
Отсюда
R = R00 +Raa = -6 + - (21.28)
161 Используя (21.27) и (21.28), мы можем выписать "нуль-нуль" - компоненту уравнения Эйнштейна (13.11):
:+^=5?. т.»)
Здесь учтено, что T00 = є, поскольку W0 = 1, иа = 0 (см. (12.19)).
В уравнении (21.29) содержатся две неизвестные величины а(т)) и e(rj). Для получения второго уравнения воспользуемся уравнением V^ Tltu = 0, которое содержится в уравнениях Эйнштейна. В § 12 было показано, что последнее уравнение содержит в себе условие изэнтропичности движения, т.е. уравнения (12.23) и (12.24). Условие изэнтропичности можно записать также в виде dE = — р dV, где E , V - энергия и объем Вселенной, ар- давление. Так как є = E/V, то
/ X dV „ . . da d? = -{є + р) — = -Z{? + р) — .
Последнее равенство является следствием (21.16). Окончательно
= -3 Ina + const . (21.30)
/
Если вещество распределено в виде отдельных тел, движущихся с относительно малыми скоростями, то можно положить ? = р с2, где р - сумма масс тел, отнесенная к единице объема. В этом случае давлением можно пренебречь по сравнению с є. Плотность и давление имеющегося в пространстве излучения также пренебрежимо малы. Таким образом, современное состояние Вселенной описывается уравнением состояния
є = р с2, р = 0. (21.31)
В этом случае уравнение (21.30) дает
(21.32)
здесь M - арифметическая сумма всех масс во Вселенной без учета энергии их гравитационного взаимодействия.
р a3 =
M 2тг2
162 Из уравнения (21.29) находим
•=±[ (21.33)
а = а0 (1 - cos 77), а0 = ,^2- (21.34)
Последнее уравнение с учетом (21.32) легко интегрируется:
2 MG Зя" с2
Из соотношения с dt = а(т]) dr] и (21.34) получаем для мирового времени:
t = -(T7-SinT7). (21.35)
с
Из полученных формул видно, что а возрастает от нуля при T7 = О или t — 0 до максимального значения 2 а0 при г) = тг или t = тг ао/с и затем снова убывает до нуля при г) = 2тг или t = = 2тгао/с. Из (21.32) видно также, что при а —> О плотность fi —> 00:
3 с4 ао
є =
4тгС?а3 '
Следовательно, при а —>¦ 0 уравнение состояния (21.31) не может быть правильным, т.к. при увеличении плотности возрастает и давление. Поэтому примем при а —> 0 уравнение состояния в виде (12.30), каким оно является в ультрарелятивистском пределе. Подставляя р= є/3 в (21.30), получаем
о Л „1
є a4= Const = V-f, (21.36)
O7T G
где ai - новая постоянная. Теперь уравнение (21.33) и cdt = a dr] дают
а = ai sin T7, t = — (1 — cos ^). (21.37)
с
Это решение имеет смысл рассматривать лишь при очень больших значениях е, т.е. при малых г]. Полагая в (21.37) T7 << 1, получаем
а и VZa1Ct. (21.38)
Из (21.38) и (21.36) немедленно вытекает, что
.= «=_!_.(21.39)
163 Обратим внимание, что зависимость (21.39) не содержит никаких параметров.
Таким образом, значение t = 0 является особой точкой пространственно-временной метрики изотропной модели. Вторая точка, в которой а = 0, также является особой. Попытка аналитического продолжения t на отрицательные значения в найденном решении приводит к парадоксу, поскольку а2 становится отрицательным. Действительно, в (21.20) подразумевается, что вместо a2 dr]2 стоит с2 dt'. Поэтому отрицательность а2 означает, что метрика (21.20) становится локально-евклидовой, что физически бессмысленно.
Рассмотренная модель положительной кривизны называется замкнутой изотропной моделью.
Теперь рассмотрим изотропное пространство отрицательной кривизны.
В этом случае вместо (21.19) для пространственно-временной метрики имеем (см.(21.17))
ds2 = а2[ті) [dr]2 - [Sx2 + sh2 X ¦ (SO2 + sin2 в 8ф2}]} . (21.40)
Это выражение формально получается из (21.20) заменой rj, \ а на ІТ), ix, га соответственно. Поэтому и уравнения движения можно получить путем этой же замены. Вместо уравнения (21.29) будем теперь иметь
Очевидно, уравнение изэнтропичности сохраняет свой вид (21.30). Для пылевидной материи (р = 0) получаем из (21.30) и (21.42):
Мы видим, что в отличие от замкнутой модели здесь радиус кривизны монотонно растет от нуля при г) = 0 или t = 0 до бесконечности
(21.41)
откуда вместо (21.33)
(21.42)
164 при 77-+00 или t —V 00. Плотность материи монотонно убывает от бесконечности до нуля при возрастании времени.
Для больших плотностей (t -» 0) решение (21.43) неприменимо, поскольку правильное уравнение состояния, как и в замкнутой модели, есть р = є/З. Поэтому при t —t О следует пользоваться соотношением (21.36), которое вместе с уравнение (21.42) дает
