Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Из (20.18) вытекает формула (20.17). Для этого достаточно применить формулу (20.18) для двух бесконечно близких скоростей ?1 =
149 = (Де, 0, 0) в момент времени t и ?2 = (?x, d?y, 0) в момент времени t + dt.
Нам нужен нерелятивистский вариант формулы (20.17), когда 7 » 1:
"T = -^[v,v]. (20.19)
В последней формуле не имеет значения, в какой системе (К или К' ) измеряется время.
Если гироскоп свободно движется в гравитационном поле, то (см. (11.9)) V = —Чф, и формула (20.19) принимает вид
u>t = ^[v,V ф]. (20.20)
При движении в гравитационном поле к прецессии Томаса добавляется еще эффект, связанный с возникновением при V ф 0 в системе К момента сил в системе покоя гироскопа К'. Этот момент возникает вследствие появления в системе покоя гироскопа компонент g'ai как результат преобразования Лоренца. Пусть в системе К метрический тензор имеет компоненты (20.12). Тогда в системе К', движущейся относительно системы К со скоростью ?, нужные нам компоненты g'oi с точностью до O(?) равны
є'=4 ?t-
Воспользовавшись формулой (20.6), находим
J = -¦^[v, V^]. (20.21)
Ci
Теперь сложим все три угловые скорости прецессии (20.15), (20.20) и (20.21). В результате находим полную угловую скорость прецессии оси гироскопа, свободно движущегося в гравитационном поле:
ш — шм' + WT + w' =
= -Jr^ [3 W n) n-M'] - [V, Щ]. (20.22)
Первое слагаемое в (20.22) соответствует взаимодействию угловых моментов гироскопа и тела (Земли). Поэтому эту часть прецессии по
150 аналогии с атомной физикой можно назвать сверхтонкой прецессией. Эта часть прецессии была открыта в I960 году (L. Shiff). Второе слагаемое в (20.22) обусловлено свободным движением гироскопа в гравитационном поле. Эту часть прецессии называют геодезической; она была установлена в 1923 году (Н. Weyl).
В случае гироскопа, движущегося вокруг Земли по низкой орбите, отношение сверхтонкой и геодезической прецессии имеет порядок
и>т
Поэтому лишь геодезическую прецессию имеет смысл сравнивать с возможными экспериментальными данными для прецессии гироскопов (спинов) на орбите вокруг Земли. Пусть гироскоп движется по круговой орбите радиуса г и е является единичным вектором, нормальным к плоскости орбиты. Тогда
/GM9 GMe
U=JL(GMe) з/'r-s/'e.
Оценим изменение направления оси гироскопа за один оборот вокруг Земли по низкой орбите. Так как
гф ~ б • 108см, G ~ 7- IO-8CM3r-1C-2, Me ~ 6 ¦ 1027г, T ~ 100с, то
Аф ~ |ш| T ~ 0, 7 • 10_8рад. (20.23)
Ввиду малости величины (20.23) ее чрезвычайно трудно наблюдать. Подготовка такого эксперимента ведется уже несколько десятилетий.
При получении формулы (20.22) мы воспользовались материалом по этому вопросу, изложенному в замечательном курсе лекций по теории гравитации [11]. Нам представляется это целесообразным, поскольку задача о прецессии гироскопа в гравитационном поле изложена в [11] весьма ясно и сжато.
151 Отметим, что уравнение (20.22) можно было бы получить, исходя из уравнений
d dxx Hxfl
-t + ^irS", 1? = 0. (20.24)
Здесь Sli - 4-вектор, описывающий спин частицы в релятивистской механике. В системе покоя частицы = (О, S), где S - обычный спин. Первое из уравнений (20.24) вместе с принципом эквивалентности выражает тот факт, что в отсутствие гравитационного поля спин сохраняет свою ориентацию. В результате длительных формальных вычислений уравнения (20.24) приводят к закону прецессии спина (20.22). Предложенный в этом параграфе вывод формулы (20.22) представляется предпочтительнее ввиду его простоты.
20.4. Прецессия орбиты частицы в поле вращающегося тела
Используя формулы (20.12) и (20.14) для метрического тензора, нетрудно найти вековое смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего. Ввиду малости всех релятивистских эффектов они накладываются друг на друга линейно, и при вычислении эффектов, происходящих от вращения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в § 19 влиянием неньютоновости центрально-симметричного силового поля. Это означает, что для метрики можно считать справедливыми формулы (20.14) и
( Л 1 2GM Jt
goo (Г = 1--2- > 9iJ - '
где M - масса центрального тела. В нерелятивистском пределе поправки к gij , содержащиеся в (20.12), несущественны. Тогда из действия S = —mc J ds получаем следующее значение лагранжиана частицы:
С = C0+ SC,
т 0 GmM „ „ 2mG . ,, . ,„„
C0 = -V2 +-, SC = —2-5-M' г, V . 20.25
1 Г Ci г°
Здесь SjC рассматривается как малая добавка. Согласно известной теореме [10], добавка к гамильтониану при этом равна (—SC),
152 причем все величины должны быть выражены через координаты и импульсы
Поэтому
H = Hq+SH , Яо = JSH =(M'[т, P]). (20.26)
2m г с1 гА
Если SH = 0, то при движении частицы сохраняются две векторные величины:
М = [г,р], А=-[Р,М]-СтМТ. (20.27)
m г
Вектор А направлен вдоль большой полуоси эллипса в сторону перигелия и по величине равен GmMe, где е - эксцентриситет орбиты.
Уравнение Гамильтона для гамильтониана (20.26) приводит к следующим скоростям изменения векторов (20.27):
