Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
0,01
--.ve ' , Gioi = -T Xe 1 ,
C2lI2 = ~ е-х'2, C3lI3 = -^e-V2, C3,23 = -^ctgfl. Теперь получаем для шаЬ = (Са,Ьс ~ Сь,ас - Сс,аь)ис :
Ul
01
_I,/e-V2w0 _ I Ле—/2^1 2 2
U12 = Ie-V2LJ2, Ui13 = Ie-V2W3, W23 = Ictgflw3. (18.5)
г г г
В результате простых, хотя и длительных вычислений, находим согласно (9.28) компоненты тензора кривизны Rab = Rabdujc Auid:
R01--P -rtOi — - е
р02 _ рОЗ _ - ,/ „ Unn — Лпч — — V Є
-А
• 1 ;2 1 ; • Л+2 A2--A,
1
1O2 — -"-03
р02 _ pl2 -Tlj2 — —Л,
2г
02
R1
^3 1 де-(А+„)/2)
2 г
130 Rll = RlI = - Yrx'e~x> ^=^(^-1)- (!8-6)
Теперь не составляет труда выписать уравнения Эйнштейна (13.11):
е
-А
(18.7)
—е
-А
(18.8)
^ H и2+^-H+
1
1
(18.9)
(18.10)
Остальные компоненты уравнения Эйнштейна тождественно обращаются в нуль. Компоненты тензора энергии-импульса должны быть выражены через плотность энергии материи є, давление р и радиальную скорость согласно (12.19).
Уравнения (18.7)-(18.10) можно проинтегрировать до конца в пустоте, вне создающих гравитационное поле масс. В этой области Ttiu = 0, и вместо уравнений (18.7)-(18.10)) имеем
Уравнение (18.9) с правой частью, равной нулю, является следствием уравнений (18.11)-(18.13). Вычитая из уравнения (18.12) уравнение (18.13), находим X' -\-v' = 0, откуда X +и = f(t). При больших г пространство должно быть близко к плоскому, так что при г —> —> оо функции X и и должны стремиться к нулю. Поэтому
A = O
(18.11)
(18.12)
(18.13)
X + V = 0.
(18.14)
131 Уравнения (18.11) и (18.14) показывают, что Л и v зависят лишь от г. Уравнение (18.12) интегрируется и дает
є
-X
= е" = 1--?. (18.15)
Здесь гд - константа интегрирования, имеющая размерность длины. Она называется гравитационным радиусом тела, создающего гравитационное поле. Легко найти связь между гравитационным радиусом и массой тела. Из уравнения (13.1) находим, что на больших расстояниях от тела массы M ньютоновский потенциал равен ф = —GM/r, а из уравнения (11.10) следует, что gоо — 1- 2 G M (с2г)~1 при г оо. С другой стороны, из (18.2) и (18.15) имеем <7оо = 1 — Гд/r. Поэтому
2GM пя^R^
rg = (18.16)
Таким образом, нами окончательно установлен вид метрики в центрально-симметричном случае в пустоте:
ds2 = (l-r-f) C2 dt2-г2 (de2 + sin2 вdф2)- (і - ^y1 dr2. (18.17) Метрика (18.17) называется метрикой Шварцшильда.
Согласно (10.15) и (18.17) пространственная метрика определяется формулой
dl2 = (1 - ^V1 dr2 + г2 (de2 + sin2 edф2). (18.18)
v г J
Уже отмечалось, что в этой метрике длина окружности г = const с центром в точке г = 0 есть 2-7Г г. Из (18.18) видно, что длина участка кривой Гі < г < г2 , в = const, ф = const есть
I
Jr1
Далее из (10.13)и (18.17) имеем
Г 2 _ 1
dr (1_7") 2 >Г2~Г1- (18Л9)
dr-.
(l -r-±y dt. (18.20)
132 Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит замедление времени по сравнению со временем на бесконечности.
Рассмотрим уравнение (18.7) при наличии материи. Из этого уравнения видно, что при г —> О Л стремится к нулю по крайней мере как г2. В противном случае тензор энергии-импульса имел бы особенность в нуле ~ г-2. Перепишем уравнение (18.7) в виде
г d(e'x) + е-Л dr = - T00 г2) dr .
Интегрируя последнее уравнение, находим
A= -In (l (18.21)
Если гравитационное поле создается сферическим телом радиуса а, то при г > а имеем T0 = 0. Поэтому при г > а
*> = -ь(і- 5? Jf Я'
Сравнивая последнюю формулу с (18.15) и (18.16), получаем для полной массы тела следующее выражение:
M=^fa T00T-2 dr. (18.22)
с Jo
Для статичного распределения вещества в теле имеем согласно (12.19) Tq = є. Поэтому
M = [ p,-Anr2dr, (18.23)
Jo
где р, - плотность массы тела. Согласно (18.2) элемент пространственного объема равен dV = єх/2 Anr2 dr. Но так как T00 > є > 0, то из (18.21) видно, что Л > 0. Поэтому dV > Anr2 dr, и из формулы (18.23) следует, что полная масса тела меньше суммы масс его отдельных частей. Это явление называется гравитационным дефектом массы тела.
Рассмотрим падение частицы к центру вдоль радиуса. Воспользуемся формулами, полученными в следующем параграфе, в которых в нашем случае следует положить M = 0. Вычислим мировое
133 время полета At частицы от 74 до Г2 , г і > Г2- При помощи (19.7) находим
At
т с3
то с'
1 +
-1/2
Этот интеграл расходится при стремлении г2 к —rgjc 1п(г2 — rg). Отсюда асимптотически имеем
it)
I g — const exp I--
(18.24)
как
(18.25)
Мы видим, что в мировом времени (с точки зрения удаленного наблюдателя) падающая частица достигает гравитационный радиус за бесконечное время.
Метрика (18.17) имеет особенность при г = гд. Однако это не означает, что пространство-время сингулярно при г = гд. Действительно, согласно (18.6) и (18.15) ненулевые компоненты тензора кривизны равны:
Г?'
K1
d23 _ 'д rt23 - -^з
р02 _ р12 _ '9 02 - Л12 - .
следовательно, имеют сингулярность лишь при г = 0. Поэтому сингулярность метрики Шварцшильда при г -
