Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы устранить возникающую таким образом неопределенность, будем работать в гармонических координатах. Мы увидим, что изучение поставленной задачи в гармонических координатах весьма удобно.
Таким образом, фиксируем калибровку условием (14.1):
ГЛ = rf Txv = 0 . (17.7)
С учетом уравнения (17.2) условие (17.7) принимает вид
dvh»?-l-d?K = 0. (17.8)
Условие (17.8) всегда возможно. Если же оно не выполнено, то совершим указанное выше преобразование координат с параметрами ??, удовлетворяющими уравнению
d2e? = dvh»? -\d?K.
Согласно (14.3) в новых координатах условие (17.8) будет выполнено. При условии (17.8) уравнение (17.4) принимает простой вид
o2 h?V = -l-^-S?V. (17.9)
Одно из решений этого уравнения, называемое запаздывающим, имеет вид
„о
h?v
W = (ил»)
119 Непосредственно проверяется, что для решения (17.10) условие (17.8) выполнено как следствие уравнений (17.6). Наоборот, из уравнений (17.8) и (17.10) следуют уравнения (17.6), и потому с учетом уравнений (17.4) следуют также уравнения (17.5). Для дальнейших вычислений в этом параграфе это имеет большое значение, поскольку лишь Too и То,- в уравнении (17.9) в используемом здесь приближении непосредственно получаются из соответствующих компонент тензора энергии-импульса. В компоненты же Xij в линеаризованном уравнении (17.9) должны быть включены нелинейные по h?U поправки, содержащиеся в Riiu и имеющие тот же порядок величины, что и часть тензора энергии-импульса, содержащаяся в Tij.
Действительно, в интересующем нас нерелятивистском случае согласно (12.5)
T00 с2 , Toi ~ р Cvi , Tij ~ р Vі vj ,
где р - плотность массы и Vt - скорость материи. Поэтому из уравнения (17.9) имеем оценку
GM
и вклад в Tu от нелинейностей в Rftl, относительно Iiilu имеет нулевой порядок по с, что следовало бы учесть. Однако вследствие уравнений (17.4) компоненты Tij и То,- исключаются из окончательной формулы, которая выражается лишь через компоненту Too-К решению (17.10) добавляется любое решение вида
S2V = O, д,К-1-ди}1»= 0. (17.11)
Выражение (17.10) интерпретируется как гравитационное излучение, создаваемое источником Siiu, в то время как дополнительный член, удовлетворяющий уравнениям (17.11), представляет собой гравитационное излучение, приходящее из бесконечности. Появление в (17.10) временного аргумента х° — |х — у | показывает, что гравитационные эффекты распространяются со скоростью света.
17.2. Случай плоской волны
Начнем изучение гравитационного излучения со случая плоской волны, распространяющейся в пустом пространстве. Математически
120 эта задача сводится к описанию решений уравнений (17.11), зависящих от одной переменной ф = к^xfi, где k? - постоянный 4-вектор. Тогда имеем
h?U,x = Uftv к\ , Uftl, = Uvil, (17.12)
где Uftv - производная от h?v по ф. Уравнения (17.11) теперь принимают вид
^kftUv = 0, (и»" -^u)kv = 0, и = и». (17.13)
Вычислим псевдотензор энергии-импульса, соответствующий плоской волне.
Прежде всего установим, что лагранжиан С в (16.8) в данном случае равен нулю.
Заметим, что С является полиномом второй степени относительно связности T^iv и согласно (16.5) производная лагранжиана от связности равна нулю. В этом случае вклад в лагранжиан, линейный по связности, по модулю вдвое больше вклада, квадратичного по связности, и имеет противоположный знак. Иными словами, в (16.7) можно отбросить слагаемое AC и одновременно умножить первое слагаемое на 1/2. Поэтому нам достаточно установить, что первое слагаемое в (16.7) равно нулю.
Для дальнейших вычислений необходимо найти некоторые величины с точностью до первого порядка по hfw.
Из (17.2) находим
Kx = I« *А+ «?*„-«„**")• (17-14)
Имеем
9?X = -9^ 9ир9*рА = -тГтґ" кх = *А ,
V-9,A = \ V-9 9°р9ор,\ = ^ V1H rfp иар к\ = ^ VcS и к\ . (17.15) Поэтому
W1Ian,л = - V=J К" - \ ^v«) ^A ¦ (17.16)
121 Согласно (17.14), (17.16) и (17.13)
T%(V49n,x = o, га<7 (VzzIigxa)ai
к к д .
(17.17)
Вышесказанное вместе с равенствами (17.17) и (17.13) означает, что лагранжиан (16.7) плоской гравитационной волны равен нулю. Обратим внимание на то, что лагранжиан плоской электромагнитной волны также равен нулю.
Теперь мы имеем все средства для вычисления псевдотензора энергии-импульса. Согласно (16.19) и (17.17) псевдотензор энергии-импульса плоской гравитационной волны имеет вид
Рассмотрим частный случай, когда волна распространяется вдоль третьей оси. Тогда k0 = k3 = k, k1 = k2 = 0. В этом случае уравнения (17.13) дают соотношения
«00 + «оз = ^ « , и0з + «зз = и , «ю + «із = 0 , W2O + «23 = 0 .
(17.19)
Вычитая из первого уравнения второе, находим
(17.18)
«00 - «33 = U=U00 — «11 - «22 - «33
откуда
«11 + «22 = о -» U = U00-U33.
Складывая первые два уравнения, получаем
(17.20)
2иоз = -(«оо + «зз) •
(17.21)
Далее
? = «аа«аст
,2 02
+2 U212 + 2 U213 + 2 U223 - - («оо - «зз)2 ¦ (17.22)
1
122 В последней сумме заменим иоз согласно (17.21) и учтем соотношения (17.19) и (17.20). В результате
