Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
п
Но (в системе Ко) dsn = cdtn \J 1 — ?2. Поэтому в ультрарелятивистском пределе (?n -4 1) dsn —> 0, и мы имеем
TiJ1 = O. (12.29)
Предположим, что макроскопические силы являются результатом усреднения микроскопических электромагнитных сил. Тогда равенство (12.29) сохраняет свою силу в ультрарелятивистском пределе для макроскопического тензора энергии-импульса (12.19), что дает в этом предельном случае уравнение состояния
р=1-е. (12.30)
Хотя уравнение состояния (12.30) выведено для чисто электромагнитных сил на макроскопическом уровне, представляется разумным считать его справедливым в ультрарелятивистском пределе также и для микроскопических сил любой другой природы.
§13. Уравнение Эйнштейна
В §§ 11,12 были выписаны уравнения, определяющие движение материи в заданном гравитационном поле. Однако материя и сама
97создает гравитационное поле. Поэтому наша задача - сформулировать уравнение, связывающее гравитационное поле и механические характеристики материи.
13.1. Физический вывод Эйнштейна
В ньютоновском пределе (малые скорости и поля) гравитационное поле подчиняется уравнению Пуассона:
Д0 = 4тгС/и. (13.1)
Здесь G = 6,67 ¦ 10-8см3-г-1 • с-2 - гравитационная постоянная, /Ц - плотность массы тела. Часто пользуются вместо G величиной
«2= ~ = 1,86 .IO-27cm- г-1, (13.2)
с
которая называется эйнштейновской гравитационной постоянной.
В нерелятивистском пределе є = р, с2, и давление р пренебрежимо мало по сравнению с величиной є. Поэтому тензор энергии-импульса (12.19) принимает вид Tpu = Hc2UpUu. Кроме того, в нерелятивистском пределе и0 = 1, и' = 0 и из всех компонент Tpu остается только
T00=Pc2. (13.3)
Используя (11.10) и (13.3), перепишем уравнение (13.1) в виде
(13.4)
Последнее уравнение указывает путь, по которому следует двигаться. Очевидно, что в полном уравнении должны участвовать равноправно все компоненты тензора энергии-импульса. Поэтому искомое уравнение имеет вид
(13.5)
Здесь слева - некий тензор, который строится из метрического тензора и его производных. Уравнение (13.5) удовлетворяет принципу общей ковариантности теории.
Afir0O
SttG
T
00
G
ЦІ/
8 irG 4 Iliv.
98Тензор Gfiu удовлетворяет нескольким требованиям:
а) Поскольку Tjlv = Tvllt то и Gliv = GV?.
б) Поскольку тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнению (12.17), то Gflv должен удовлетворять тождеству
Vf1GZ = O. (13.6)
В этом случае уравнение (12.17) автоматически следует из уравнения (13.5). В этом смысле ситуация похожа на ту, которая имеет место в электродинамике: из уравнения Максвелла (12.10) автоматически следует закон сохранения электрического тока Vfl J? = 0 (см. (9.40)).
в) Тензор Gfiv должен быть линеен относительно вторых производных метрического тензора и квадратичен относительно первых производных метрического тензора. Все остальные комбинации производных метрического тензора в Gllv недопустимы, так как в противном случае при изменении масштаба гравитационное взаимодействие полностью изменяло бы свой характер. Согласно этому требованию
G?V = Ci Rflv + Cig?v R. (13.7)
Здесь
Rfiv-Rx ? \v , R= R? (13.8)
тензор Риччи и скалярная кривизна пространства соответственно, a Ci и С2 - константы. Из (9.19) и (9.38) следует, что величина (13.8) удовлетворяет свойству в), а из (9.32) и (9.33) - что тензор Риччи симметричен. Поэтому величина (13.7) удовлетворяет также свойству а).
г) В релятивистских уравнениях (13.5) содержится теория Ньютона как предельный случай.
Условие б) дает возможность найти соотношение констант Ci и Ci- Используем для этого тождество Бианки (9.31):
VaRxfl pv + VpRxfi ua + VvRx? ар= о . (13.9)
Напомним, что согласно (8.29) Va= 0. Поэтому (см. также (8.21))
9рх VaRx? ри = Vct {д"х Rx? pv) = VaRiiv .
99Умножим тождество (13.9) на дрХ и используем последнее равенство. Это приводит к тождеству
Vct-Ra,,/ — + VaRx? Va = 0 .
Умножая это равенство на g?a, получаем
VllRpv-^dvR=O.
Отсюда видно, что если С2 = — то имеет место тождество (13.6), где
С" = Riiv -\g?l/ R- (13.10)
Таким образом, искомое уравнение имеет вид
Rjiu - -^gR= Tliv . (13.11)
Уравнение (13.11) называется уравнением Эйнштейна. Умножим уравнение (13.11) на gpv:
R = -^rT> (Т = ТЇ)- (13-12)
Исключая из уравнения (13.11) скалярную кривизну при помощи соотношения (13.12), переписываем уравнение Эйнштейна в эквивалентной форліе:
R?u = ^(T?V-l-g?VT). (13.13)
Остается установить свойство г).
В начале этого параграфа было показано, что единственная отличная от нуля компонента Tijil, имеет вид (13.3). Поэтому мы должны рассмотреть уравнение (13.13) с индексами р = v = 0:
Roo=^P- (13-14)
ci
При вычислении величины Rqo замечаем, что члены, квадратичные относительно связности (см. (9.19)), малы в Ньютоновском пределе. Поэтому
Яоо = A rfi,-Ar*,. (13.15)
100Члены, содержащие производные Ofdxci, малы, как содержащие лишний множитель с-1. При вычислении величины Tfi0 согласно (9.38) следует помнить, что все недиагональные элементы g?u дают лишнюю малость. Поэтому в нужном приближении