Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 28

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 123 >> Следующая


п

Но (в системе Ко) dsn = cdtn \J 1 — ?2. Поэтому в ультрарелятивистском пределе (?n -4 1) dsn —> 0, и мы имеем

TiJ1 = O. (12.29)

Предположим, что макроскопические силы являются результатом усреднения микроскопических электромагнитных сил. Тогда равенство (12.29) сохраняет свою силу в ультрарелятивистском пределе для макроскопического тензора энергии-импульса (12.19), что дает в этом предельном случае уравнение состояния

р=1-е. (12.30)

Хотя уравнение состояния (12.30) выведено для чисто электромагнитных сил на макроскопическом уровне, представляется разумным считать его справедливым в ультрарелятивистском пределе также и для микроскопических сил любой другой природы.

§13. Уравнение Эйнштейна

В §§ 11,12 были выписаны уравнения, определяющие движение материи в заданном гравитационном поле. Однако материя и сама

97 создает гравитационное поле. Поэтому наша задача - сформулировать уравнение, связывающее гравитационное поле и механические характеристики материи.

13.1. Физический вывод Эйнштейна

В ньютоновском пределе (малые скорости и поля) гравитационное поле подчиняется уравнению Пуассона:

Д0 = 4тгС/и. (13.1)

Здесь G = 6,67 ¦ 10-8см3-г-1 • с-2 - гравитационная постоянная, /Ц - плотность массы тела. Часто пользуются вместо G величиной

«2= ~ = 1,86 .IO-27cm- г-1, (13.2)

с

которая называется эйнштейновской гравитационной постоянной.

В нерелятивистском пределе є = р, с2, и давление р пренебрежимо мало по сравнению с величиной є. Поэтому тензор энергии-импульса (12.19) принимает вид Tpu = Hc2UpUu. Кроме того, в нерелятивистском пределе и0 = 1, и' = 0 и из всех компонент Tpu остается только

T00=Pc2. (13.3)

Используя (11.10) и (13.3), перепишем уравнение (13.1) в виде

(13.4)

Последнее уравнение указывает путь, по которому следует двигаться. Очевидно, что в полном уравнении должны участвовать равноправно все компоненты тензора энергии-импульса. Поэтому искомое уравнение имеет вид

(13.5)

Здесь слева - некий тензор, который строится из метрического тензора и его производных. Уравнение (13.5) удовлетворяет принципу общей ковариантности теории.

Afir0O

SttG

T

00

G

ЦІ/

8 irG 4 Iliv.

98 Тензор Gfiu удовлетворяет нескольким требованиям:

а) Поскольку Tjlv = Tvllt то и Gliv = GV?.

б) Поскольку тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнению (12.17), то Gflv должен удовлетворять тождеству

Vf1GZ = O. (13.6)

В этом случае уравнение (12.17) автоматически следует из уравнения (13.5). В этом смысле ситуация похожа на ту, которая имеет место в электродинамике: из уравнения Максвелла (12.10) автоматически следует закон сохранения электрического тока Vfl J? = 0 (см. (9.40)).

в) Тензор Gfiv должен быть линеен относительно вторых производных метрического тензора и квадратичен относительно первых производных метрического тензора. Все остальные комбинации производных метрического тензора в Gllv недопустимы, так как в противном случае при изменении масштаба гравитационное взаимодействие полностью изменяло бы свой характер. Согласно этому требованию

G?V = Ci Rflv + Cig?v R. (13.7)

Здесь

Rfiv-Rx ? \v , R= R? (13.8)

тензор Риччи и скалярная кривизна пространства соответственно, a Ci и С2 - константы. Из (9.19) и (9.38) следует, что величина (13.8) удовлетворяет свойству в), а из (9.32) и (9.33) - что тензор Риччи симметричен. Поэтому величина (13.7) удовлетворяет также свойству а).

г) В релятивистских уравнениях (13.5) содержится теория Ньютона как предельный случай.

Условие б) дает возможность найти соотношение констант Ci и Ci- Используем для этого тождество Бианки (9.31):

VaRxfl pv + VpRxfi ua + VvRx? ар= о . (13.9)

Напомним, что согласно (8.29) Va= 0. Поэтому (см. также (8.21))

9рх VaRx? ри = Vct {д"х Rx? pv) = VaRiiv .

99 Умножим тождество (13.9) на дрХ и используем последнее равенство. Это приводит к тождеству

Vct-Ra,,/ — + VaRx? Va = 0 .

Умножая это равенство на g?a, получаем

VllRpv-^dvR=O.

Отсюда видно, что если С2 = — то имеет место тождество (13.6), где

С" = Riiv -\g?l/ R- (13.10)

Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Rjiu - -^gR= Tliv . (13.11)

Уравнение (13.11) называется уравнением Эйнштейна. Умножим уравнение (13.11) на gpv:

R = -^rT> (Т = ТЇ)- (13-12)

Исключая из уравнения (13.11) скалярную кривизну при помощи соотношения (13.12), переписываем уравнение Эйнштейна в эквивалентной форліе:

R?u = ^(T?V-l-g?VT). (13.13)

Остается установить свойство г).

В начале этого параграфа было показано, что единственная отличная от нуля компонента Tijil, имеет вид (13.3). Поэтому мы должны рассмотреть уравнение (13.13) с индексами р = v = 0:

Roo=^P- (13-14)

ci

При вычислении величины Rqo замечаем, что члены, квадратичные относительно связности (см. (9.19)), малы в Ньютоновском пределе. Поэтому

Яоо = A rfi,-Ar*,. (13.15)

100 Члены, содержащие производные Ofdxci, малы, как содержащие лишний множитель с-1. При вычислении величины Tfi0 согласно (9.38) следует помнить, что все недиагональные элементы g?u дают лишнюю малость. Поэтому в нужном приближении
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed