Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом можно вычислить вариацию полей материи в зависимости от вариации локальных координат. Обозначим совокупность материальных полей и их вариацию соответственно символами q и Sq. В случае системы (12.1) q означает совокупность полей x? и Ajl(я). Для этих полей
Sx" = -Є , SAlt = Г Fvtt + ^7 (Г Av).
Теперь совершим бесконечно малое преобразование координат. Это преобразование влечет за собой вариацию метрики (12.14) и вариацию материальных полей Sq. Так как действие S материальной системы инвариантно относительно общих преобразований координат, то при этом вариация действия S S будет тождественно равна нулю:
SS = SgS+ SqS = 0. (12.15)
Здесь Sq S - вариация действия, следующая из вариации полей q.
Теперь будем считать, что материальные поля подчиняются уравнениям движения. Это равносильно условиям Sq S = 0 для любых вариаций материальных полей (см. (12.8)). В этом случае Sg S = 0, что с учетом определения (12.3) и равенства (12.14) дает уравнение
J Tliv(VllHv)^d4x = 0 (12.16)
для любого ковекторного поля ?„(ж). Теперь учтем, что
T""Vm= V11 (T?V?v) - (VflTliv)Hv и согласно (9.40):
V11 (Tftv Ни) = —у==- (V—gT?vHv).
94 Допустим, что на бесконечности ?„(ж) обращается в нуль. Тогда с учетом выписанных формул левая часть равенства (12.16) преобразуется к виду
-J (VliTltv)Hv^d4x = 0.
Ввиду произвольности ПОЛЯ Ни отсюда следует, что
VliTltv = 0. (12.17)
Уравнение (12.17) имеет место лишь в том случае, когда поля материи подчиняются уравнениям движения.
Подчеркнем, что уравнение (12.17) не означает сохранение какой-либо величины. Из результатов следующего пункта можно сделать вывод, что в уравнениях (12.17) содержатся уравнения движения материи.
12.4. Уравнение движения релятивистской жидкости
Многие физические системы, включая, вероятно, саму Вселенную, можно рассматривать приближенно как идеальную жидкость. Движение идеальной жидкости может быть описано при помощи уравнения (12.17), где T?v — ее тензор энергии-импульса. Обозначим через Ult 4-скорость релятивистской жидкости в данной точке пространства-времени, нормированную обычным образом:
UliUli = 1, Ui = vі U0. (12.18)
Тогда тензор энергии-импульса имеет вид
Tltv = (?+p)U?Uv -рg?l/ . (12.19)
Здесь ? и р ~ скалярные поля, смысл которых выясняется при переходе в локальную систему координат К о, в которой Qfiv = J]?l/ (см. § 9) и жидкость покоится, т.е. Utt = (1,0,0,0). В системе Kq (которую мы будем называть собственной) имеем
T00=S, Tij =рSij , Toi = O. (12.20)
Отсюда видно, что ? является плотностью энергии жидкости, а р - ее давление в системе Kq .
95 Подставляя тензор (12.19) в уравнение (12.17), можно получить уравнение движения релятивистской жидкости. Для этого необходимо ввести в рассмотрение сохраняющийся 4-вектор тока частиц n?:
VtlTitl = 0. (12.21)
Из условия (12.21) следует, что полное число частиц N = J п° \/—g dx1 dx2 dx3 сохраняется (см. (9.47)). Очевидно, что 4-вектор n? должен быть пропорционален 4-скорости U?, т.е. иметь вид
Titi = TiUt1. (12.22)
Здесь п(х) - скаляр, из определения которого ясно, что п есть плотность числа частиц в собственной системе отсчета.
Рассмотрим далее энтальпию W = E + pV, которая есть термодинамическая величина, характеризующая состояние некой подсистемы, заключающей в себе определенное количество вещества. Здесь E - полная энергия подсистемы, р - давление, а V - ее объем в собственной системе отсчета. Если к этой подсистеме не подводится тепло, то dE = —pdV. Отсюда
dW = V dp. (12.23)
Соотношение (12.23) справедливо в случае отсутствия теплообмена или в случае сохранения энтропии.
В формуле (12.19) величина w = є + р является энтальпией единицы объема в собственной системе отсчета. Поскольку объем, приходящийся на одну частицу, есть 1/п, то энтальпия, приходящаяся на одну частицу, равна w/n. В случае изэнтропического движения согласно (12.23):
d(-) = -dp. (12.24)
\ п ) п
Подставляя (12.19) в (12.17), получаем
V„ T"" = Uti Vv(w Vv) + w Vv Vv Uti - д"" dvp. (12.25) Спроектируем равенство (12.25) на Utll и учтем (12.18):
VtlVvTtiv = Vu (WVv)-Vv дир. (12.26)
Но
Vu(WUv)=Vv (^nUv) =nVvdv (12.27)
96 вследствие (12.21) и (12.22). Комбинируя (12.27) и (12.24), мы находим, что правая часть (12.26) обращается в нуль.
Теперь мы можем, обратив ход рассуждений, сделать вывод: выполнение уравнения (12.17) означает выполнение соотношения (12.24) при движении релятивистской жидкости, т.е. ее движение является изэнтропическим. С учетом сказанного уравнение VuTxiy = О означает, что
W Uu Vu U11 = O11P-U11U^dup. (12.28)
Уравнение (12.28) является релятивистским обобщением уравнения Эйлера. Проведенный анализ показывает, что не только уравнение (12.17) является следствием общей ковариантности и уравнений движения, но и сами уравнения движения содержатся в (12.17).
В случае электромагнитного взаимодействия из (12.5) и (12.6) получаем (след тензора (12.6) равен нулю):
Т? = (-gГ1'2 т„ с2 [ dsn 54(х - хп).
