Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Kx = IVb^"4 ЄааТ;л + 6axTL + Є(шП° ]' (9'38,)
Выражение (9.38) называется символом Кристпоффеля.
Выпишем в Римановом пространстве величину V?J? для векторного поля, которая является аналогом дивергенции. Имеем в согласии с (8.6'):
с) JP
V?J?=Q^ + K?J", (9.39)
где, согласно (9.38),
Г » - I „Р" д9?° Lv" - 29 дх" • Пусть g = detg?l/. Тогда dg = g g?u dg?l/. Действительно, g ¦ g?" есть минор элемента g?U в соответствующем определителе. При вычислении величины dg следует взять сумму всех дифференциалов dg?l/, умноженных на свои миноры. Поэтому
Il г" - dlnVH
9 дх" ~9 дх" ' "" дх" '
69 Отсюда
VliJ"
1 iL Ш J»)-
ля (9-40)
Выпишем также в Римановом пространстве выражение для оператора д'Аламбера. Пусть ф -скалярное поле. В качестве компонент вектора возьмем величины g?v . Имеем
иф = ф? =
д
sMdx?
уМ 9
IiU
дф_ дх"
(9.41)
Нам понадобится также формула для VuT^, где - симме-
тричный тензор. Имеем по определению
е\
Y7 грі/ _ ^ гри І хлі/ гр\ -рЛ гри _
^ _ dx17 ? л" ^ _імНА -
но, так как
Т\и _ ^aj то
ГфАУ _ /р і р \ гр\и
1T^ 8 „
2
Поэтому
VT-
1 5
(9.42)
Формула (9.40) имеет и другое лицо. Рассмотрим (п — 1)-форму (см. (8.45)):
= і J/Jl dx?2 Л ¦ • •Л dx"n ¦ (9-43) (я 1J.
Здесь J? - компоненты векторного поля. Вычислим внешний дифференциал формы LUJ-.
dwj =
1
д
Eltl. ..?ndx?l А... Adx?"
(9.44)
Пусть У - подмногообразие размерности п с краем или просто некая область в Л" с регулярной границей. В частности, подмногообразие У может совпадать с X. Согласно теореме Стокса
/ du J = I wj Jy Jay
70 Зафиксируем ориентацию локальных систем координат так, чтобы вторая квадратная скобка в (9.44) была положительна, а значит, совпадала с элементом объема (8.46). Тогда последнее равенство переписывается в более привычной форме:
[ [VliJ^dV= [ J?dS?. (9.45)
Jy Jdy
Элемент площади (п— 1)-мерной гиперповерхности задается формой
dS? = (п-1)! dx"1 Л • • • Л dx^'1 ¦ (9'46)
Из (9.45) вытекает, что обращение в нуль ковариантной дивергенции (9.40) влечет за собой сохранение некоего заряда. Действительно, пусть подмногообразие У представляет собою в локальных координатах слой, ограниченный условием 0 < х° <t. Имеем = 0. Поэтому в данном случае согласно (9.46) отличной от нуля будет лишь dSo, которая в локальных координатах x? на гиперплоскости = t равна
dSo = x/liWtdx1 ...dx"-1 = dS{t).
Вследствие равенства нулю обеих частей уравнения (9.45) имеем
Q = J (J0 yj^i), dx1 ... de*»"1) = const. (9.47)
Величина Q оказывается сохраняющейся и называется зарядом тока
Выведем, наконец, выражение для связности в Римановом пространстве в ОНБ. Для этого предварительно необходимо установить явный вид форм ша. Практически это делается путем диаго-нализации метрики (см. равенства (9.29)). Пусть du" = С?сшь Awcl где Cbc = -Ccb - известные коэффициенты постольку, поскольку формы Uia известны. Пусть uib = JbcUic. Из уравнений структуры (9.28а) имеем
Са,Ь с — 2 (Та,6 с Jа,с b) •
Как обычно, С a,be = VadCgc, и Jafic = Tjad Jbc, Ja,be = -Jbl ас- Ци-клически переставляя индексы (а, 6, с) два раза, получаем еще два
71 аналогичных уравнения. Складывая первые два из них и вычитая третье, находим однозначное решение:
Uab = [Cafic — Сь}ас ~ Сс,аЬ) V0 . (9.48)
В случае наличия кручения к правой части следует добавить выражение (Tbiac - ТаМ + TCtab) wc/2.
В качестве простейшего примера рассмотрим Риманову геометрию на поверхности сферы радиуса а. Метрика на поверхности в сферических координатах имеет вид
ds2 = a2 (d92 + sin2 9 d<j>2) = иІ+и2ф. (9.49)
Отсюда видно, что в ОНБ (ее, вф)
ui# = ade, и>ф = a smd dф. (9.50)
Теперь легко найти связность при помощи уравнения (9.28а) с Tbc = = 0. Имеем du!ф = a cos 9 dB Л dф или du/ф — а-1 ctg 9uig Л шф = 0. Сравнивая это уравнение с уравнением структуры duJф+u)фffAuJв = 0, получаем, что
и>вф = -a_1 ctg виїф + 7и>е.
Так как duig = 0, то второе структурное уравнение упрощается: и>$ф Л usф = 0. Отсюда окончательно получаем
швф = -a_1 ctg 9шф .
Вычисляя внешний дифференциал от формы связности, находим
duJ6ф = a"2 UJg Ашф .
Следовательно, единственная отличная от нуля компонента тензора Римана в выбранном нами ОНБ имеет вид
К$Ф вф = а,~2 .
72 Часть II
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§10. Введение
10.1. Ключевые идеи
общей теории относительности
Теперь мы готовы приступить к изложению общей теории относительности, открытой в основном А. Эйнштейном, а также Д. Гильбертом и другими.
Главные идеи общей теории относительности (ОТО) сводятся к следующим.
1) Геометрическая идея
Пространство-время не является плоским псевдоевклидовым, а является Римановым пространством с локально-псевдоевклидовой метрикой. Кривизна пространства-времени обусловлена гравитационным полем.
Таким образом, все физические явления происходят в кривом пространстве-времени. Локальные координаты этого пространства обозначаются //.,^... = 0,1,2,3. Метрический тензор заключает в себе всю информацию о гравитационном поле. Связность не имеет кручения. Координата х° считается временной. Координаты х', г = 1,2,3 - пространственные.
