Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 19

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 123 >> Следующая


Здесь совокупность 2-форм Ta при преобразованиях репера преобразуется как компоненты контравариантного вектора. Ta называется тензором кручения пространства.



65 В локальных координатах e? = d/dx?, uix = dxx и ui? = = Г?Л dxx. Поэтому T? = 2 dxx Л dx", или

= (9.26)

Таким образом, тензор кручения является тензором типа (2,1). Тензорный характер величины (9.26) следует также непосредственно из формул преобразования для связности (8.34).

В заключение дадим наглядную трактовку геометрического смысла тензора кручения. Рассмотрим еще раз в координатном пространстве петлю 7 в форме параллелограмма со сторонами (eV, є W , —sV, —sW), где V = {v?} и W = {w?} -двавектора. Пусть эта петля параметрически задается кусочно-гладкими функциями x?(s). Тогда dx?(s) ~ бесконечно малый касательный вектор в точке s к этой петле и dx?(s) - бесконечно малый вектор в точке x? = 0, полученный параллельным переносом вектора dx?(s) так, как было описано выше. Тогда с точностью до 0(є2)

jf d??{s) = ^ є2 T^v[l/wx]. (9.27)

9.5. Структурные уравнения Картана и тождество Бианки

Перепишем уравнения (9.17) и (9.25) в виде:

duiA + A ujB = 1 т?сшв Auic, (9.28a)

dw? + ui? Аш% = і Ri CDuic Аш° . (9.286)

(См. (9.17)). Уравнения (9.28) называются структурными уравнениями Картана.

Выпишем также выражение для метрики (см. (8.41)):

ds2 = g^ dx? dx" = дАВ ujaujb . (9.29)

Обратим внимание на то, что в (9.29) справа нет знака внешнего умножения. В случае ОНБ вместо длв имеем т]аь. Пространства, в которых тензор кручения равен нулю, называются Римановыми пространствами, или пространствами без кручения.

66 Вычислим внешний дифференциал от уравнения (9.28). При этом учтем, что dod = 0, а также воспользуемся уравнениями (9.28) для исключения 2-форм duia и duig. В результате простых, но длительных вычислений мы получим

Щь Cd) =4C;d) + TfoTldy {9 Ш)

K(cdj) = -KeuT!d)- (9.306)

Здесь введены следующие обозначения: для любых величин ?аЬс с тремя нижними (верхними) индексами С(аЬс) есть циклическая сумма С(аЬс) = Саьс+Сьса+Ссаь , Va = е? V^, оператор ковариантного дифференцирования определен согласно (8.28), а индекс после точки с запятой означает соответствующее частное ковариантное дифференцирование. Соотношения (9.30) называются тождествами Бианки.

В Римановом пространстве тождества Бианки упрощаются. Запишем их в локальных координатах:

Ярі/ (Apia) = о , Rftv Xp = Qfla Rl Xp- (9.31)

Укажем на основные свойства тензора Римана, вытекающие из его определения. Хотя эти свойства мы формулируем в ортонормированием базисе, они, очевидно, имеют место в любом базисе. Для Rab cd = VaeRb d имєєм: 1°.

Rab cd = -Rba cd > (9.32a)

Rab cd = -Rab de ¦ (9.326)

Равенство (9.32а) является следствием соотношения (8.22), а равенства (9.32Ь) вытекают из того, что uic Auid = — uid Auic (см. (9.28Ь)). Подчеркнем, что свойства (9.32) имеют место также и в пространстве с кручением.

2°. Следующее свойство справедливо лишь в Римановом пространстве:

Rab cd = Red ab ¦ (9.33)

Для доказательства воспользуемся первым из тождеств Бианки (9.31):

(І) = Rab cd + Rae db + Rad be = 0 .

67 Отсюда получаем, переставляя циклически индексы (a,b,c,d), еще три тождества:

(к) = RbC da + Rbd ас + Rba cd = 0 ,

(Л) = Red ab + Rca bd + Rcb da = 0 , (I) = Rda be + Rdb еа + Rdc ab = 0 . С учетом свойств (9.32) имеем

\ {(0 + (к) - (Л) - (0} = Rad be -Rbcad = 0 ,

что и требовалось доказать.

Подсчитаем число независимых компонент тензора кривизны в каждой точке Риманова пространства размерности п. Это делается с учетом свойств I0 и 2°. Число всех компонент тензора Римана:

п(п - 1)

типа Rab ab ,

2

п{п- 1)(п — 2) 2

п{п- 1)(п — 2)(п — 3)

Cia Rab ас j типа Rab cd ¦

12

Число компонент типа Rab аь не нуждается в комментарии. Число компонент типа Rabac равно числу пар [а, 6], равному п(п — 1)/2, умноженному на число (п — 2) возможных индексов, не равных ни а, ни 6. Два случая а < b и а > 6 не приводят к удвоению вследствие соотношения (9.33). Число компонент со всеми различными индексами равно числу п(п— 1)/2 пар индексов [а, 6], умноженному на число (п — 2) (п — 3)/2 остающихся возможностей для пар отличных индексов [c,rf], за вычетом числа соотношений (9.31). Последнее число равно n(n — 1)! [3!(n—4)!]-1 = 6-1n(n — 1) ¦ ¦{п — 2)(п — 3). Теперь явно учитывать соотношения (9.33) не следует, так как они содержатся в учтенных уже тождествах (9.31). Суммируя, находим число всех независимых компонент тензора Римана в п-мерном пространстве:

. (.л.

68 9.6. Явные выражения для коэффициентов связности

В Римановом пространстве связность легко выражается через метрический тензор. Обозначим d/dxx g?U = Jf^iA и дирГ^х = Тогда (8.33) принимает вид

9?v,л — Ff1^A -(- Г?ti/\ .

Делая здесь две циклические перестановки индексов (р, v, Л), получаем еще два равенства:

9v\,? = Гд+ j

9\?,f = Г?,>.v ГAj^f •

Сложим первые два равенства и вычтем третье. Учитывая (9.26), находим

Если кручение не равно нулю, то аналогичным образом получается формула
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed