Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, согласно определению поля X разность величин fB(s) — ?B(s) в каждой точке петли I есть разность компонент вектора, возникающая в результате его параллельного переноса по замкнутой петле. В данном случае замкнутая петля состоит из отрезка луча Xj-, соединяющего точку с координатами x?(s) сточкой х^ = 0, и куска петли I со значениями параметра s' от нуля до s (см. (9.7)). Поэтому согласно (9.12) fB(s) — fB(s) ~ є2. Отсюда в свою очередь следует, что разность правых частей уравнений (9.8) и (9.14) имеют порядок є3, что нами не учитывается.
Далее, в точке ж^(0) имеем равенство VX = O по определению поля X. Запишем последнее равенство в виде
d?A = -witB+ (А. (9.15)
Здесь 1-форма ^j4 имеет порядок є в е-окрестности и обращается в нуль в точке ж^(0).
62 Пусть а - двумерное подмногообразие с границей I : да = I. Воспользуемся теоремой Стокса для вычисления интеграла (9.14):
і ші ?В = [ d(wi (В) = [ (du>$ ¦ 'Є — ш? Л dtB). J да Ja Ja
Используем равенство (9.15) и учтем, что в нашем приближении формой Ca можно пренебречь. В результате получим следующий ответ:
Д?л = (jf Ri) Є ¦ (9.16)
В нашем приближении величины ?в можно считать постоянными, равными компонентам вектора X в точке x?(0). 2-форма
R? = 2(du?+u? (9.17)
называется тензором кривизны.
Пусть {ед/} -новый базис и ед/ = Фд,єа • Тогда 1-форма связности преобразуется согласно правилам (8.3') и (8.5). Легко убедиться при помощи прямого вычисления, что при этом 2-форма (9.17) преобразуется согласно
Ri', = ФІфвв, Ri . (9.18)
Закон преобразования (9.18) вытекает также из соотношения (9.16), так как и ?в в (9.16) есть векторы в одной точ-
ке. Поэтому 2-форма R?, переводящая вектор ?в в вектор Д?л, есть тензор.
Запишем 2-форму (9.17) в локальном базисе (д/дх RH = R^Xpdxxdx",
К Xp = дх Kp - др Г?Л + Г?л Tlp - Г*л . (9.19)
Очевидно, величины (9.19) представляют собою тензор типа (3,1), антисимметричный по последним двум индексам. Этот тензор называется тензором Римана, или тензором кривизны.
Полученный нами результат можно сформулировать более наглядным образом. Пусть в координатном пространстве {ж*1} заданы два вектора V = {v?} и W = {w/i}. Построим в координатном пространстве параллелограмм со сторонами (eV, eW, —eV, —sW), є —>
63 0. Этот параллелограмм задает петлю 7 на многообразии. Параллельный перенос вектора f вдоль этой петли приводит к его изменению с точностью до О (є2):
Действительно, параметрически поверхность <т, краем которой является петля 7, можно задать согласно
x?(s,t) = +t w?), 0 < s,t < 1.
Поэтому на поверхности а
dx" = є (v? ds + гі/ dt),
dxx A dxp = ?2 (vxwp - vpwx) ds A dt = є2 г;[Ли/] ds A dt. Подставляя это в (9.16), получаем соотношение (9.20).
9.4. Тензор кручения
Теперь изучим следующую задачу. Пусть в координатном пространстве дана петля xv(s). Так как ?''(0) = ?''(1), то очевидно, что
В интеграле (9.21) величину dx? можно трактовать как бесконечно малый вектор, соединяющий точки s и s + ds на петле. Равенство (9.21) выражает лишь тот факт, что петля является замкнутой.
Однако в кривом пространстве аналогичная задача оказывается принципиально сложнее. Это происходит вследствие того, что бесконечно малые векторы, соединяющие близкие точки на петле, сначала необходимо перенести в одну точку и лишь затем сложить. В противном случае невозможно получить осмысленный результат.
Для решения поставленной задачи необходимы некоторые построения.
Пусть в g-окрестности точки x?- = 0 задан репер {е^ (ж)}. Перенесем вдоль координатного луча (9.10) репер {е^(а;)} из точки Xli в точку x? = 0 и обозначим результат {ё^ (яг)}. Пусть
Af" = -^2 (KxpV^wt)?.
(9.20)
(9.21)
64 ёд(х) = ед(0). Формула (8.4) дает изменение координат век-
тора, переносимого параллельно вдоль кривой. В нашем случае находим
І(А)П=^А+^ + 0(е2). (9.22)
Поэтому ёА(х) - ед(0) = Lj^ х^ев(0) + 0(є2). Заметим, что все векторы в этом равенстве берутся в одной точке. Так как є —0 и x? - малы, то последнее равенство переписывается в виде
d~eA =U^dxlt ® ев (0) + <5ёЛ. (9.23)
Векторнозначная 1-форма ?ёд обращается в ноль в точке = 0.
Теперь рассмотрим векторнозначную 1-форму 9, которая определяется свойством O(X) = X. Тогда в локальных координатах 9 = (д/дх11) ® dx?. Действительно, если X = Xli д Jdxli, то
B(X) = ® dx" (= X» = X . к ' дхч XdxvJ дх*
Пусть еА - координаты вектора еА и еАеА = 5* , ед = e^ d/dx?. Введем обозначение
uiA = eAdxli. (9.24)
Тогда для формы 0 имеем # = ед®аИ.
Пусть I - петля в е-окрестности точки x? = 0. Рассмотрим величину ёд ® uiA, которая в кривом пространстве является аналогом интеграла (9.21). Эта величина есть вектор в точке xlt = 0. Пусть а - поверхность с краем , так что да = I. Тогда согласно теореме Стокса
Ф ёд®шА= / d(eAuiA)= / (deAAujA + eAdujA). J да Ja Ja
Теперь воспользуемся формулой (9.23). Заметим, что слагаемым SeA в (9.23) можно пренебречь, если нас интересует результат с точностью до О (є2). Имеем
ёда/ = J (dujA +Uja Aujb) еА = TaеА . (9.25)
