Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
s = f si = f'si,. (8.13)
Отсюда и из (8.3') получаем
Ґ = 4 f ¦ (8.14)
Пусть в каждой тривиализующей окрестности заданы базисы сечений и п функций f, причем на пересечении окрестностей эти функции связаны согласно (8.13). Тогда задано глобальное сечение на расслоении. Это сечение называется контравариантным вектором или тензорным полем на расслоении типа (0,1).
Аналогично набор п функций /г,-, заданных в каждой тривиализующей окрестности и связанных на пересечениях окрестностей согласно
= (8.15)
образует ковариантный вектор или тензорное поле типа (1,0). Так как
= (8-16)
то
f hi = f hi,, (8.17)
то есть из контравариантного и ковариантного векторов образуется скаляр по обычному правилу.
В точности аналогично определению тензорных полей типа (а, Ь) на касательном расслоении (см. § 3) определяются тензорные поля типа (а, Ь) на векторных расслоениях общего вида.
В частности, набор величин (8.10) образует ковариантный тензор второго ранга или тензорное поле типа (2,0). Действительно, из представления (8.10) вытекает закон преобразования компонент метрического тензора:
9i'j' — Ф\> Ф], Qij ¦ (8-18)
52 Обратим внимание, что скалярное произведение двух векторов не зависит от базиса сечений, т.е. является величиной скалярной по самому определению. Это свойство, разумеется, согласуется с законами преобразований (8.14)-(8.18).
Как известно из линейной алгебры, в метризованном пространстве исчезает принципиальная разница между контравариантными и ковариантными векторами. Действительно, из закона преобразований (8.14)-(8.18) вытекает, что компоненты
fi =Sijfj (8.19)
являются компонентами ковариантного векторного поля. Наоборот, величины
f=9ijfj, 9ik Qkj = Si3 (8.20)
образуют контравариантный вектор.
Определение 4. Связность V на метризованном расслоении ? называется согласованной с метрикой (или метрической), если для любого векторного поля X Є тв и любых сечений s,s' Є Г? имеет место равенство
X(s-s') = (Vxs) -в'+ s- (Vxs'). (8.21)
?
Предложение 2. Связность V на расслоении ? тогда и только тогда согласована с метрикой, когда для любой тривиали-зующей окрестности U матрица и = ||wafc|| форм связности, отвечающих ОНБ (8.12), кососимметрична, т.е. когда
Uiab + ыЬа = 0 . (8.22)
Здесь и далее
Wab = Loac Vcb, ШаЪ = Tiac Locb . (8.23)
Доказательство. Ясно, что соотношения (8.21) эквивалентны соотношениям
X(Si-Sj) = (Vxs1) -Sj +Si -(Vxsj), i,j=l,...,n, (8.24)
53 где {s,} - произвольный базис сечений над U. С другой стороны, если базис {«<,} ортонормирован, то вследствие (8.12) имеем
(VxSa) -Sb + Sa VxSb = О,
или
Ulab(X) +Ulba(X) = 0, (8.25)
что равносильно (8.22). О
Везде далее мы рассматриваем лишь связности, согласованные с метрикой.
Пусть S = f si и s' = h'si. Имеем s ¦ s' = Phi (см.(8.19)). Поэтому, комбинируя (8.21) и (8.6), получаем
+ hi+ P (Vkh)1.
Отсюда находим ковариантную производную компонент ковектора:
(Vkh)i = Vkhi = ^hi- TjikHj . (8.26)
Очевидно, обобщение операции ковариантного дифференцирования V на случай тензоров произвольного ранга. Например, в случае тензорного произведения двух контравариантных векторов s и s' и одного ковариантного вектора s" ковариантная производная такого тензора определяется естественным образом как
Vk(s®s'®s") = Vk s®s'®s" + s®Vks'®s" + s® s' ®Vks" . (8.27)
Пусть компоненты векторов s,s',s" в некотором базисе суть {/*}, {д!} и {hi} соответственно, и компоненты тензора s ® s' ® s" в этом же базисе имеют вид t]J = Pg1 hi. Тогда равенство (8.27) эквивалентно следующим равенствам:
(Vkt)' = І ^ + ^ + r^ ^r "1M- (8'28)
Обобщение правила дифференцирования компонент тензора любого ранга S^j'"*-' очевидно: каждому верхнему индексу в величине (^kSYj1l'"^ отвечает слагаемое, пропорциональное Т\к со знаком
54 плюс, а каждому нижнему индексу - такое слагаемое со знаком минус, плюс частная производная по д/дхк компонент тензора. Используя (8.3),(8.10) и (8.21), находим
ib9ij={Vxsi)'Sj+Si'(Vxsj)=(r''A 9ij+r^9u) ¦ Из сравнения правой и левой частей последнего равенства, получаем
Vkgij = 0 . (8.29)
Мы видим, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю, если связность согласована с метрикой.
Далее мы рассматриваем, если не оговорено обратное, лишь касательные расслоения с локально-псевдоевклидовой метрикой. Локальные координаты на многообразии X обозначаются x? , р = = 0,...,гг — 1. Метрика в базисе d/dx? (сравни с (8.10)) имеет обозначение д^. Пусть e{J, а = 0,..., га — 1 - набор гладких орто-нормированных полей, так что
9?^eub=r]ab, (8.30)
и - их обратные поля:
=<? =K, 9,.=гіаьеІеІ. (8.31)
Согласно (8.3)
, В
v _ = г _
" дх" "" дхх '
и поэтому для любого вектора X = Xй д/дх" его ковариантная производная в компонентах имеет вид (сравни с (8.4))
BXu
= + (8'32)
Ввиду его важности, перепишем для случая касательного расслоения уравнение (8.29):
= (8.33)
55 При переходе от локальных координат x? к координатам Xlt' компоненты связности пересчитываются следующим образом (сравни с (8.5); здесь матрица ф\ заменяется матрицей дхх /дхх ):
