Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
41 По определению, для любого расслоения ? = (?, п, В) существует открытое покрытие пространства В, состоящее из тривиализую-щих окрестностей. Пусть Ua и Up- два пересекающихся элемента этого покрытия. Тогда для любой точки Ь Є Ua П U? определено отображение
фра{Ь) = о фа<ь : Kn —* A'n ,
где фа^ и фр^ - отображения Kn —у Ть, индуцированные три-виализациями фа : Ua х Kn —У ?иа и фр ¦ Up х Kn —у Su? (см. пункт б определения 1). Это отображение линейно и обратимо, т. е. является элементом группы GL(n; К) (группы обратимых п X п матриц с вещественными (комплексными) матричными элементами). Поэтому формула
Фра : Ь і—У ф?a(b)
задает некоторое отображение
Фра :UanU?—> GL{n; К) , (7.3)
называемое отображением или функцией перехода (подразумевается - от фа к фр).
Из определения функций перехода непосредственно вытекают следующие их свойства:
ФрІ = Фар на UaClU?,
Фр-і Ф-,а = фра на Ua П U? П U1 (7.4)
для любых индексов а, ?, 7.
Предложение 1. Пусть В - топологическое пространство, {Ua} - его открытое покрытие и ф = ^?a} - множество GL(n\К)-значных функций на UaCiU? (если UaC\U? обладающих свойствами (7.4). Тогда существует единственное векторное расслоение ? ранга п с базой В, тривиализующим покрытием {Ua} и функциями перехода ^?a} .
Доказательство этой теоремы можно найти в [2]. Здесь мы лишь покажем, как по функциям перехода строится соответствующее расслоение. Рассмотрим множество пространств {Ua х Кп}. Обозначим для любых точек 6 Є Ua и х Є Kn точку (6, х) Є Ua х Kn
42 символом (b, х)а. Отождествим точки (6, х)а и (с, у )^ тогда и только тогда, когда b = с Є Ua П Up и у = фра(Ь)х. Из (7.4) немедленно следует, что это отождествление корректно, т.е. если отождествлены точки (6, х)а и (с, У)/з, а также точки (с, у )? и (с?, Z )7, то и точки (6, х)а и (d, z)7 также отождествляются. Тогда пространство
? = Ua ([Ta X А'"), (7.5)
в котором осуществлены указанные отождествления точек, является тотальным пространством расслоения и непрерывное отображение 7Г : 8 —В задается согласно
тг[6, х]а = Ь, ЬЄ В, X Є Kn-
Здесь точка [6, х]а расслоения S соответствует точке (Ь, х)а. Для любого а формула
фа{Ь, х) = [6, х]а , be Ua, X Є Kn
определяет непрерывное послойное отображение
фа : Ua X Kn —> Tt-1Ua ,
и формула
[b,x}a^ (b,x)a, be Ua, хе Kn
корректно определяет непрерывное отображение ж"1Ua —> Ua х обратное к отображению фа. Следовательно, фа является послойным гомеоморфизмом. Это означает, что тройка ? = (?, ж, В) удовлетворяет условию 61) определения 1. Далее, поскольку отображение фра{Ь) : Kn —> Kn линейно, то формулы
[b,x]a + [b,y]a = [b,x + y]a,
Л[6, х]а= [6, Лх]„, X, у Є Kn ,
корректно определяют в Ть структуру линейного пространства. Это дает условия а) и 62). Кроме того,
(Фр1 °Фс){Ь, х) =ф-1 [6, х]а = ф^[Ь, фра(Ъ)х }? = (Ь, фра(Ь)х)
43 для любой точки (6, ж) Є (Ua П Up) х Kn. Значит, функциями перехода построенного расслоения являются исходные функции перехода. ?
Пусть В - гладкое m-мерное многообразие.
Определение 2. Векторное расслоение ? = (?, тг, В) ранга п над многообразием В называется гладким, если существует такой тривиализующий атлас {(Ua, Фа)}, что отвечающие ему функции перехода {фра} являются гладкими отображениями:
фра : Ua П Up —->¦ GL(n; К) , К = R, С .
?
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь гладких векторных расслоений.
7.2. Примеры векторных расслоений
Пример 1. Для любого многообразия В и любого линейного пространства V над полем К тройка (BxVy тг, В), где тг : Bx V —> В
- проекция прямого произведения на первый множитель, является векторным расслоением. Тривиализующее покрытие {Ua} состоит для этого расслоения из одного элемента U = В, а тривиализация ф : В X К" —> BxV определяется выбором в V базиса ei,..., еп и задается формулой
п
ф(Ь, х) = (6, Y х'ei) > 6fE?' X = (ж1,..., хп) Є Kn . i=l
Это векторное расслоение обозначается символом и называется тривиальным векторньїлі расслоением ранга п.
Пример 2. Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть X -произвольное n-мерное многообразие и
TX= [J TpX
р?Х
- дизъюнктное объединение (т.е. такое объединение, в котором ТрХП TpiX = 0, если р ф р') всех линейных пространств TpX, р Є X.
44 Таким образом, точками множества TX являются всевозможные касательные векторы V многообразия X. Для каждого вектора V Є TX (единственную) точку р ? X, для которой V Є TvX, обозначим символом ж(У). Тем самым возникает отображение
ж: TX —> X ,
обладающее тем свойством, что тг_1(р) = TpX для каждой точки р? X.
Покажем, что тройка т% = [TXi ж, X) является векторным расслоением ранга п, очевидно, над R.
Мы видим, что условие а) определения 1 выполнено и dim Tx — = п. Далее рассмотрим произвольную карту (U, ж1,..., хп) многообразия X. Обозначим
TU=\_\ TpX = 7T-1U.
PZU
Пусть ф : U X Rn —> TU - отображение, определяемое согласно
Ф[Р, V) - і,'" , peU, V Є Rn ¦ (7.6)
Очевидно, что отображение (7.6) является тривиализацией расслоения тх над окрестностью U. Теперь возьмем какой-либо атлас {Ua} многообразия X и для каждой окрестности Ua построим отображение фа согласно правилу (7.5). Семейство {(Ua, фа)} является тривиализующим атласом. Тем самым условие б) определения 1 также выполнено, и тх является расслоением.
