Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
а) построение пространства физических состояний с положительно определенным скалярным произведением;
б) явное выражение величин, имеющих физический смысл, через те операторы, при помощи которых строится пространство физических состояний.
Однако вычислить средние значения от метрического тензора при помощи первого метода не удается по принципиальным причинам. Это утверждение справедливо по меньшей мере в том случае, когда пространство физических состояний строится при помощи операторов, An, Bn,..., определенных в пункте 29.3.
При втором методе квантования удается решить, кроме задач а) и б), также задачу:
в) вычисление средних значений от метрического тензора относительно физических состояний.
Исходя из этих результатов, мы полагаем, что применение второго метода квантования целесообразно продолжить при изучении других моделей.
В заключение сделаем следующее замечание.
Модель (29.63) может быть без труда проквантована в калибровке "светового конуса". На применяемом здесь языке использование этой калибровки означает наложение связей второго рода:
0&0 = 0, г&-) = 0, CiW = O1 C5 = O, шф 0. (29.107)
380 При этом согласно (29.98) среднее значение метрического тензора относительно основного состояния равно нулю. С другой стороны, при втором методе квантования согласно (29.105) и (29.48') среднее от метрического тензора относительно основного состояния, вообще говоря, не равно нулю. Если считать, что метод квантования, основанный на явном разрешении связей первого рода при помощи наложения специальных калибровочных условий, эквивалентен первому методу квантования, то мы видим, что он не эквивалентен второму методу квантования. При втором методе квантования структура пространства физических состояний оказывается существенно богаче, чем при первом методе квантования (или при явном разрешении связей первого рода).
29.7. Приложение
Пусть т - некий "времениподобный" параметр и г = е". Введем в рассмотрение следующие операторные функции:
Cj(T) = q(z) = + I In г + А ? I 4+) . (ПІ)
2 р+ г Р+^п
По определению:
u(z)=ei«(i)=zexp(j|±-)-exp Z- , u(z) = e''?(z) .
(Wl)
Пусть контур С в плоскости комплексной переменной z один раз обходит точку z = 0 против часовой стрелки. Определим четыре бесконечномерные матрицы согласно формулам:
Mm,п = L-I-Z-nUm, (ПЗ)
2т Jc z
FМт,п = L-. I -Z-nUm^q. (П4)
2ти Jc г
381 Определения матриц Mm,п и FМт,п получаются из определений (ПЗ) и (П4) путем замены и —>• й. Здесь и далее:
dr dz Р+
Обратим внимание на то, что все величины (П1) - (П5) следует рассматривать как формальные ряды относительно элементов свободной ассоциативной коммутативной инволютивной алгебры
ДМ с
образующими {XjrIpjr, <*m"Vp+ }• Это положение остается
справедливым до тех пор, пока не производится вычисление каких-либо средних относительно физических состояний. Коэффициенты при мономах относительно образующих алгебры
в разложениях величин (П1) - (П5) являются конечными полиномами относительно г и г-1. Поэтому интегралы в (ПЗ) и (П4) определены корректно. Тем самым матричные элементы матриц (ПЗ) и (П4) принадлежат алгебре Из (П2) имеем
varlnw(z) = varln г — var І У^ —
г с. г. \ ?—< п
П Di
njtO
Здесь varc F(z) означает изменение функции F(z) (вообще говоря, неоднозначной вдоль контура С) при однократном обходе контура С против часовой стрелки. При таком определении контура второе слагаемое в правой части последнего равенства вклада не дает, и мы имеем
var In и (2) = var In z = 2ж і. (П6)
При помощи (П2) и (П5) находим du(z) _ u(z)
dz z ' Pjr
n — ~ oo ^
E (П7)
Последнее неравенство является следствием того факта, что в алгебре отсутствуют какие-либо соотношения, кроме тех, которые вытекают из ее коммутативности.
Образ контура С в алгебре при отображении (П2) обо-
значим С*.
382 Отображение (П2) может быть обращено. Это является следствием неравенства (П7). Указанное обращение означает, что существует аналитическая функция z(u) от переменной и, обращающая уравнение (П2) в тождество. Функция z(u) является формальным рядом переменных { а(+'/р+ }. Уравнение (П2) можно обращать методом итераций относительно степеней переменных а^/р+. Пусть
z(u) = Z1-0^u)+ z^(и) + ... ,
где
Z^ (и)
+ СО п =Z-OO
О 7/-"
JO
И Zn' являются однородными функциями переменных а(+)/р+ степени і. При помощи уравнения (П2) получаем
= JU±-
2 P+ '
„-»'<5
Л1:
n^O
np+
E
пф 0
E
m^O
CXn
np+
(e-
J+)
mP+
(e~uu:
(П8)
и т.д. Уравнение (П2) однозначно определяет каждый следующий член Z^ (и) по предыдущим.
Из (П6) следует также, что при однократном обходе переменной и по контуру С* против часовой стрелки переменная z один раз обходит контур С против часовой стрелки. Из сказанного вытекает возможность "переделки" замкнутого интеграла по переменной z вдоль контура С в замкнутый интеграл по переменной и вдоль контура С* и наоборот. Согласно (П7) и (П5)
du dz
и Z
