Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 106

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 123 >> Следующая


Вследствие коммутационных соотношений (29.69) и (29.74) уравнения (29.94) и (29.95) остаются справедливыми также для физических состояний, если физические состояния являются "чистыми" по отношению к калибровочным степеням свободы. Здесь мы понимаем под "чистотой" то, что все физические состояния имеют один и тот же набор параметров {zm, zm }.

Мы не станем подробно доказывать, что в рассматриваемом случае удовлетворяются условия квантования (29.28) и (29.29). Это непосредственно следует из всего вышеизложенного. Здесь мы лишь

376 подчеркнем следующий важный факт: усреднение в (29.28) и (29.29) достаточно проводить лишь в пространстве калибровочных степеней свободы Hg (см. (29.36),(29.37)). По переменным, описываемым операторами Am, Am, Bm, Bm, усреднения в (29.28) и (29.29) проводить не требуется.

29.5. Вычисление средних значений

В изучаемой модели наиболее интересным средним является среднее от метрического тензора (29.2) относительно физических состояний. Для этого, согласно (29.2), следует вычислить среднее от ехр(2р), поскольку параметры u я v являются числовыми множителями Лагранжа.

Чтобы начать вычисления, предположим, что формулы (29.15), справедливые в классической теории, имеют место также и в квантовой теории. Это предположение позволяет представить искомую величину через квантовые поля 7га, Ta (29.23) следующим образом:

ll е2» = ttatta - v1aval + 2 (^0 г1' - TT1 v0'). 7г с

При помощи (29.23) это равенство переписывается в удобном для нас виде

е2'<"> = -| (X)a^eimff) c^nff)- (29-96)

В (29.96) переменные с>4 ' должны быть выражены через новые переменные o4+\ Q^ ' и Am, Bm, Am, Bm в соответствии с (29.73). После этого можно проводить вычисления средних значений выражения (29.96), используя результаты предыдущего пункта.

Представим переменные ат^ и a^ ' в удобном для последующих вычислений виде:

= \ (4+) + ) - \ (*« - «Р). (29.97)

377 Переменные am \ входящие в величину (29.96), выразим через остальные переменные при помощи соотношений (29.73). После этого все переменные Qm^ и в (29.96) разложим согласно (29.97). В результате этих подстановок правая часть (29.96) оказывается выраженной через новые канонические переменные; при этом первая круглая скобка не зависит от операторов материи (29.64 - 65), и все переменные в первой круглой скобке коммутируют со всеми переменными во второй круглой скобке. Учитывая этот факт и конструкцию пространства состояний, описанную в предыдущих пунктах, легко понять, что при вычислении средних справедлива формула

(^2' > = - f < E eimCT м E ^ e~inCT )¦ (29-98)

т п

Вычислим диагональные матричные элементы метрического тензора относительно базисных состояний |р) = | г, г+; щ, п,-, ш,-, m,-) вида (29.89 - 90).

Заметим, что

(p\AmAn\р) ~ 8т+п , {p\BmBn\p)~Sm+n (29.99)

и т.д., поскольку базисные состояния являются собственными состояниями операторов чисел заполнения Л_|тjЛ|т|, S_|m|?[m| и т.д.

Вследствие соотношений (29.99) вычисление среднего (29.98) существенно упрощается. Действительно, так как второе среднее в правой части (29.98) зависит от операторов материи не более чем квадратично, то согласно (29.99) под знаком среднего в (29.98) может быть сделана замена:

(ApAq-^-BpBq)-+

Р, я

-+E-a^Io (А-р Ap+рB^p Bp). (29.100)

р

Далее при помощи (П9) и (П10) получаем

й(+)

M-]о = . (29.101)

378 Таким образом, под знаком среднего в (29.98) величины ai,' должны быть заменены величинами

^ = 0^ + ^- : Y,(A-pAP +РЁ~Р ЁР) m^0' (29Л02)

Р+ P

Оператор Oq-' выражается через новые переменные при помощи второго равенства в (29.73).

Теперь воспользуемся формулами (29.94) и (29.47). Таким образом, получаем

(z,z+ IX I Z1 z+ }р = X еІта ¦ (29-103)

т т

Аналогично находим

(z, Z+ I X a^e-^lz, Z+) P = X Z^ e~ina ,

П П

<*. * + I X е~'па I z> z+)p = -Щ- X (29.104)

n p+ (4 і2 n

В результате получаем следующий ответ для величины (29.98):

(р|е2^)|р) =

= *<+>(*) {^и + 7?? (X +E )) ¦ (29-105)

I (zO Ii і )

Функции zW(<7), г'+' (<т) и z(-)((7) удовлетворяют (29.48'). При получении формул (29.105) мы считали, что базисный вектор нормирован.

Обратимся к первому методу квантования.

Вычисление матричных элементов от метрического тензора при помощи первого метода наталкивается на серьезные трудности. Действительно, переменные afc не являются операторами в физическом пространстве состояний Hpo • Поэтому средние вида

(X<4+)e-'m">™ (29.106)

m т

379 не определены. Вследствие условий квантования (29.87) и (29.88) можно было бы допустить, что среднее (29.98) равно нулю, если матричный элемент вычисляется относительно порождающих состояний I к±) д. Однако это не спасает общую ситуацию, поскольку при вычислении матричных элементов относительно возбужденных состояний приходится вычислять средние вида (29.106).

29.6. Заключение

В данном параграфе применены два метода квантования к теории двумерной гравитации. Первый метод позволяет, следуя идее Дирака, провести квантование до конца. Это означает:
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed