Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
[Ж+,4-)] = [г_,й1+)] = -2і<5п. (29.81)
Явный вид новой переменной х- здесь не выписывается, поскольку эта переменная ниже не используется.
Исходные переменные {ж±, ?m, ?m) (точ-
нее - их линейные комбинации) являются каноническими. Из коммутационных соотношений (29.66), (29.69), (29.74) и (29.78) следует вывод, что набор переменных
{х+, X-, cfc\ &-, aW, Am, Am, Bm, Вт} (29.82)
также является каноническим.
Теперь мы можем определить унитарное преобразование, входящее в (29.21). Определим унитарный оператор U при помощи следующих равенств:
Ux+=x+U, Ux-=x.U, U ofc) = ofc) U , Ua^ = Oc^U, Uam = AmU, U?m = BmU, t/cfc> = cfc)t/, ... (29.83)
и так далее для остальных операторов с чертой. Известно, что равенства вида (29.83) однозначно определяют линейный оператор U и этот оператор унитарен [24].
Мы должны выразить операторы (29.63) через новые переменные. Для этого представим операторы L^ из (29.63) в виде (29.32) и выразим операторы ат \ ат, ?m через операторы ж+, ofc', am\ Am, Bm при помощи формул (29.64), (29.65) и (29.73). В результате несложных вычислений с использованием правил сумм (П20) и (П21) мы приходим к следующим формулам:
L --іУа(+) 5<-> + — а{+)Я
" ~ 2 п-т ит > . «„ ^v ,
373 L = -IrsW O(_) - — aWjV
ljTl- 2 / J ulU-VTI Ыт ^ "n ^v >
= J2 iA-' A' - A-1 Al + 1 (B-l B' - }• (29-84)
і
Повторяя рассуждения, проведенные для доказательства (29.76), приходим к равенству
N-N:. (29.85)
В справедливости равенств (29.84) можно убедиться и более простым путём. Для этого следует вычислить коммутаторы операторов (29.64), (29.65), (29.73) с операторами Ln в представлениях (29.63) и (29.84). Результаты этих вычислений совпадают. При помощи (29.83) и (29.84) находим, что
Ln = U^ +J-aM N0^ U^
Ln = U^-J-a^ No] U^
N0 = Y [<*-i*i - a-,a, +1 [?-i ?t -?-i?i)}. (29.86)
l>0
Соотношения (29.86) являются точным вариантом соотношений (29.20). Хотя формулы (29.86) имеют несколько более сложный вид, чем формулы (29.20), тем не менее имеется возможность существенного дальнейшего продвижения по тому пути, который был указан во Введении.
29.4. Пространство физических состояний
Формулы, полученные в пунктах 29.2 и 29.3, позволяют провести квантование изучаемой модели.
Благодаря существованию унитарного преобразования со свойствами (29.83) и (29.86), можно утверждать, что пространство состояний системы (29.63) изоморфно пространству состояний двух невзаимодействующих систем: чистой гравитации и свободных полей (29.58), (29.59). Имея в виду это унитарное преобразование, построим пространство физических состояний сразу в теории со взаимодействием.
374 Сначала применим первый метод квантования. Определим два семейства состояний при помощи формул (ср. с (29.38)):
a^\k±)D = a{~]\k±)D=0, m = 0, ±1, ... (29.87)
An I к± )D = An І к± )D = Bn І к± )D = Bn I k± )D = 0 , n > 0.
(29.88)
Наложим также условие
A0 \k±)D = I0 |*±)в = О,
которое не является обязательным и наложено лишь для упрощения формул. Кроме того, мы полагаем, что выполнены соотношения (29.40) и (29.41).
Теперь становится ясной причина, по которой в формулы (29.33) и (29.73) была введена величина M2 > 0: вследствие этого условия и условия (29.87) с rn = 0 оператор р+ не имеет нулевых собственных значений в физическом пространстве Нрв ¦ Поэтому унитарное преобразование (29.83) определено корректно, и на состояния можно действовать операторами An.
Все физические состояния являются линейными комбинациями базисных состояний вида
I Arzfc; tii, пі, ті, гщ )d =
= (А.П1 ...Л_й1...В_ті ...) І *±)л ЄЯ?2,
Пі, fii, ті} Thi > 0, (29.89)
E n'- + E mi - E Пі - E ) = (29.90)
\ і і і і /
В (4.3) берётся либо верхний, либо нижний знак. Полное пространство физических состояний представляется в виде прямой суммы:
Hpd = Hip^ OHip-^. (29.91)
Вследствие соотношений (29.87), (29.90) и (29.66) имеем
М\)р=0, І )р Є H Pd ¦ (29.92)
375 Теперь при помощи (29.84), (29.87), (29.88) и (29.92) получаем
Ln\)p =Ln\)p = 0. (29.93)
Из коммутационных соотношений (29.66) и равенств (29.88), (29.41) вытекает, что скалярное произведение в пространствах Hpp и Ярд положительно определено и эти пространства взаимно ортогональны.
Сказанное означает, что проведено безаномальное квантование системы (29.63) при помощи первого метода.
Теперь применим второй метод квантования. По определению, пространство состояний порождается двумя сериями состояний I z,z±)p со следующими свойствами. Состояния | z,z±)P удовлетворяют уравнениям (29.47), (29.88), а также (ср. с (29.50))
\ (aL+2 + ) I z,z±)p = ±z°_m I z, z± )p ,
і (ofc - a^ )\z,z±)p= ±z^ I z, z± )p , m > 0 , (29.94)
и аналогично для величин с чертой.
Из (29.47) следует, что
\z, z±)p = 0. (29.95)
Базисные состояния в физическом пространстве обозначаются I Z, z±; щ, щ, mi, fhi)p. Они строятся при помощи операторов А-т, ..., т > 0 согласно (29.89) и (29.90). Пространство физических состояний Яр разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств Яр"' и Нр~^ Скалярное произведение в пространстве Hp положительно определено.
