Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношения (29.69) остаются справедливыми, если в них вместо affl подставлены или х+.
Теперь мы должны вместо Ctm ^ ввести в теорию переменные am \ которые сохраняют прежний вид коммутационных соотношений с переменными и имеют нулевые коммутаторы с новыми переменными (29.64), (29.65).
Из определения (29.64) находим
[4Г\ Л»] = Eta^' Мп'1 і
Воспользуемся (П16), а также обратим равенства (29.64). В результате получим
An] =-2^-Yj ra^0'
Здесь сумма в круглой скобке вычисляется при помощи формул (ПЗ), (П10) и (П12). Таким образом, находим
An] = -- J2 М^]Р-п Ap, тф 0 ,
P+ р
[а{0-\Ап]=-~-Ап. (29.70)
Здесь было учтено равенство (29.68). Справедливы также соотношения:
[о{~\Ап] = -—Ап, [a\~\An] = Q, т ф 0. (29.71) P+
Аналогичным образом, используя формулы (29.65), (П4), (П11), (П12) и (П14), получаем
[а(7>,Вп] = -^?(п+р)ЛС:р-п5Р, [Or^jSnI = O1 т ф 0 , P+ V
369 [а{-\вп] = -—вп, = Bn. (29.72)
P+ P+
Из формул (29.70) - (29.72), а также (29.66) и (29.69) непосредственно следует, что переменные
? = L- YY ¦ Up ая~ tj1bpbq) , пгфо,
р Z-^/ Z-^/ ">,р+ч \ р ч 2 р я 4
= = а(0'} - L-Y(ApA~P + AP А-р + "+ р
+ р(В_рВр + Bp ) + 2М2} (29.73)
коммутируют со всеми операторами An, An, Bn, Bn :
[4г\ An] = An] = в„] = [с&Л Bn] = 0. (29.74)
Число M2 в фигурной скобке в (29.73) здесь можно воспринимать так же как результат нормального упорядочения (ср. с (29.33)).
Если в формулах (29.70) - (29.74) все величины без черты заменить на такие же величины с чертой сверху и одновременно все величины с чертой заменить на такие же величины без черты, то эти формулы останутся справедливыми.
Теперь определим нормальное упорядочение операторов рождения и уничтожения (29.64), (29.65). Эти операторы по определению считаются нормально упорядоченными, если все операторы рождения |„|, Л_|„|, В_|п|, В_|п| расположены левее всех операторов уничтожения Л|„|, Л|П|, В|п|, вн.
Правые части равенств (29.73) содержат квадратичные формы относительно операторов (29.64) и (29.65). Эти квадратичные формы представлены в виде сумм, которые не являются нормально упорядоченными. Однако правые части равенств (29.73) в действительности можно считать нормально упорядоченными, поскольку имеют место равенства
E E м™,р+я UpAq-^-Bp Bq р я
= ¦¦ E E М^р+я (АРАя-Р-~ВрвЛ : . (29.75)
370 Для доказательства равенств (29.75) достаточно установить, что
J2(ApA-P+PB-pBp) = : (А А-р+ PВ-р Bp) : = р р
= -Y(AP А-р +P Б-Р Bp)-. . (29.76)
р
Первое равенство в (29.76) непосредственно вытекает из определения упорядочения и коммутационных соотношений (29.66). Для доказательства второго равенства в (29.76) следует учесть, что формально J^L1 п = ?(-1), где ?(5) есть дзета-функция Римана:
OO
с(в) = Yn"- (29-77)
п=1
Дзета-функция имеет единственное аналитическое продолжение в точку s = —l и ?(-1) = —1/12. Указанная регуляризация расходящейся суммы J^0=I п в настоящее время общепринята. Поэтому можно положить, что
Здесь первая расходящаяся сумма возникает от упорядочения бо-зонных операторов, а вторая - от упорядочения фермионных операторов. Отсюда вытекает второе равенство в (29.76).
Таким образом, правые части равенств (29.73) можно считать в равной степени как нормально упорядоченными относительно операторов (29.64) и (29.65), так и неупорядоченными и записанными в форме сумм, имеющихся в (29.73). Для некоторых вычислений неупорядоченный вариант правых частей (29.73) является более удобным.
Теперь докажем следующие коммутационные соотношения:
?fc0. = ai }] = >] = 0. (29.78)
П ф О ] (29.73). Тогда
Пусть т ф О и ті ф 0. Возьмём переменные am ^ в представлении
*т ? п
371 P+
рч
Р~Ч R R
К, -у" Dp Bq
(29.79)
Здесь мы воспользовались определением (29.73) для и комму-
тационными соотношениями (29.74). В правой части (29.79) вместо &т ^ подставим его значение согласно (29.73):
рч
¦ (ApAq-E^BpBq) +
+ E м™,Р+Ч {[Q»_)' араЯ] - jlYl Mt^ вРвЯ }} ¦
При помощи формул (П17) и (29.70), (29.72) и переобозначения индексов в некоторых суммах преобразуем последнее выражение к виДУ
Р\ 1 ^
+ v рч
р-Ч
2mJV(_(p+q)i_(m+„) ^p /Ig--Y~ BV ВЧ
- 2 Y1 r^ml4+г M~n)P-r ^P АЧ +
+ j e (г + ^ - ^ м^я+г mnl-r вр вч
-=- {то п }. P+
(29.80)
Здесь части сумм по г, антисимметричные по индексам ти п, находятся при помощи соотношений (П18). В результате все слагаемые в (29.80) взаимно сокращаются. Таким образом, доказано, что коммутатор (29.79) равен нулю. Соотношения
[4^,0^1=0, тф 0, пф 0
доказываются точным повторением уже проведенных выкладок. Аналогично устанавливается, что
[5^.^-)1 = (4-),0^) = 0.
372 Равенства
[OfcUi-'] = O1 гпф 0, пф О
тривиально вытекают из фундаментальных перестановочных соотношений (29.61), (29.62) и определений (29.73). Тем самым справедливость коммутационных соотношений (29.78) доказана полностью.
Из определений (29.73) и коммутационных соотношений (29.69) имеем также
[<4+), 4_)] = Nn+), Si")] = -2m<Wn ,
