Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1. Задача 1. Пусть А, ^ и ср — случайные величины, причем А, г) неотрицательны и имеют произвольное совместное распределение, а ф не зависит от них и имеет равномерное распределение на отрезке [0,2л). Рассмотрим случайный процесс = A cos(r]/ + ф), —оо < t < оо.
Докажите, что его конечномерные распределения не меняются при любом сдвиге времени: +Л <«+/г==!Л< ., t для
любого действительного h.
Это — случайное синусоидальное колебание — процесс, рассматриваемый в связи с различными приложениями.
2. Очень важным для нашей теории примером является винеровский процесс.
Мы говорим, что случайный процесс Wt — винеровский (буква шпо имени Винера), если выполнены следующие требования:
I. Для любых /0<^1< ••• <tn приращения Wt,— wt. wtn — wt,, ..., Wt —wt независимы.
I 0 I I n n — I
II. Случайная величина wt — ws, s < i, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t — s (короче: с параметрами (0, t — s)).
III. Траектории wt непрерывны.
Мы определили винеровский процесс аксиоматически, описанием его свойств; конечно, возникает вопрос: а существует ли математический объект,
18
удовлетворяющий этим аксиомам? Мы отложим доказательство существования винеровского процесса до гл. 5. :
Винеровский процесс служит в каком-то приближении математической моделью движения частицы под действием хаотических ударвв ж>лекул; поэтому его называют также броуновским движением.
Винеровский процесс обладает интересными непривычными свойствами.
Микротеорема. Сумма квадратов приращений винеровского процесса, соответствующая разбиению а = t0 <Z t\ < ... < tn — h отрезка от а до Ь, сходится к b — а в среднем квадратическом при измельчении разбиения:
Доказательство. Сосчитаем математическое ожидание и дисперсию суммы в (1). Имеем
в силу независимости wt.+i — wtr i = 0, 1, п—1,
Но последняя сумма не превосходит max(^+i — &)Х
l.i.m. Yu
К+1-®02=й-а- (О
п-1
п- 1
п — 1
п- 1
п- 1
п-\ П—\
= S [зв+1-^)2-&+1-^)2]=2?
XT, (tt+\ — ti) = {b — a)max(ti + l~ti), что по пред-
положению стремится к нулю. Итак,
при измельчении разбиения, т. е. сходимость в среднем квадратическом имеет место.
Мы видим, что винеровская случайная функция обладает свойством, непривычным для функций, с которыми мы обычно имеем дело: приращение гладкой функции имеет тот же порядок, что приращение аргумента, и сумма квадратов приращений стремится к нулю; а для функций, изменяющихся скачками, такая же сумма стремится к сумме квадратов скачков на отрезке от а до Ь, и предел не зависит непрерывным образом от а, Ь. Чтобы построить непрерывную (не случайную) функцию, обладающую подобным свойством, пришлось бы проявить много изобретательности.
Пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции строится не очень просто, а винеровские траектории, как можно доказать, почти все являются такими функциями.
Кстати, заметим, что из доказанной микротеоремы не вытекает, что для почти всех траекторий винеровского процесса
до b будет существовать: из сходимости в среднем квадратическом вытекает сходимость по вероятности, но не сходимость почти наверное; можно лишь утверждать, что для какой-то последовательности разбиений с вероятностью 1 этот предел существует и равен b — а.
Задача 2. Обозначим a„(t) ломаную с вершинами в точ-
( П fe 1 Л
ках yk/2 , {W('jr\)i2n — ХЮ'1:2пУ'У' Докажите> что последова-
тельность случайных функций an(t) с вероятностью 1 сходится к t равномерно на любом конечном отрезке [О, Т].
Из полученного нами свойства процесса wt легко вывести, что он обладает неограниченной вариацией на любом отрезке.
Займемся теперь нахождением конечномерных распределений винеровского процесса.
До сих пор мы говорили о винеровском процессе, как будто существует только один винеровский процесс, т. е. как будто аксиомы I — III задают этот математический объект в каком-то смысле однозначно. Но это не так даже при одном и том же временном промежутке Т (а его можно выбирать по-разному). Легко видеть, что если сдвинуть все значения винеровского процесса на одну и ту же случайную величину ?(со): wt = Wt + ?, — то это тоже будет винеровский процесс; конечномерные распределения у него будут, вообще говоря, другие. В связи с этим введем определение. Винеровским процессом, выходящим из точки Хо el?1 (начинающимся в х0), называется винеровский процесс wt, определенный при
га- 1
при измельчении разбиения отрезка от а
20
/ е [0, оо) и такой, что w0 = Хо с вероятностью 1. Такой процесс уже будет задаваться однозначно с точностью до конечномерных распределений.
Выпишем эти распределения.
Для 0 < /, < t2 < ... <.tn рассмотрим случайный вектор Aw = (wt—wt. wt. — wt,, ..., wt — wt Л,
\ 1 0 ^ 1 tz П1—' 1J
