Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначение f(x) двусмысленно: оно применяется и для значения функции f в точке х, и Для самой функции. В случае, когда мы хотим подчеркнуть, что речь идет именно о функции, а не о ее значении в какой-то точке, мы будем пользоваться обозначением /(•)• Если аргумент пишется не в скобках, а в виде индекса: fx, то обозначением самой функции будет Особенно удобно обозначение с точкой для функций нескольких аргументов, например, f{‘) (•, •)— функция от четырех аргументов; /w(-, со)— функция от двух аргументов, получающаяся из нее фиксированием значений остальных двух; (t, •) — функция от одного аргумента; (t, со)— значение функции при фиксированных значениях всех аргументов.
Дальнейшие обозначения даны в конце книги в виде списка.
15
Глава 1
ОСНОВНЫЕ понятия
§ 1.1. Что такое случайный процесс?
1. Случайной функцией называется семейство случайных величин, зависящих от параметра t, пробегающего произвольное множество Т. Этот параметр мы будем писать либо в виде индекса, либо в скобках, например: случайная функция \t, t е Т; случайная функция x(t), t^T.
Так как под случайной величиной мы понимаем измеримое отображение основного вероятностного пространства (Q, ?Г, Р) в измеримое пространство (J^, i??), то случайная функция t,t, t е Т,— это, если записать более подробно, функция ^ (ц>) от пары / еТ. со е Q, которая при каждом / е Т измерима по со. Чаще всего мы будем рассматривать числовые случайные функции, т. е. {X, 95) у нас будет числовой прямой Rx с о-алгеброй борелевских множеств $х (или комплексной плоскостью с соответствующей а-алгеброй борелевских множеств).
Когда Т — подмножество действительной прямой, а параметр t интерпретируется как время, вместо термина «случайная функция» употребляется термин случайный процесс (когда Т состоит из целых чисел, говорят также о случайной последовательности). Мы будем заниматься в основном случайными процессами, а не случайными функциями на более сложных множествах Т. Вместо случайный процесс говорят иногда вероятностный или стохастический; иногда мы будем говорить просто процесс (ведь никаких процессов, кроме случайных, мы не рассматриваем).
2. Введем некоторые основные понятия, связанные со случайными функциями.
В функции \t (ш) можно зафиксировать элементарное событие со и получить функцию (со). Это — уже неслучайная функция от t^T; она называется реализацией случайной функции (еще выборочной
16
функцией; для случайных процессов также траекторией) .
Наоборот, зафиксировав t е Т, мы получим случайную величину. В связи с понятием эквивалентности случайных величин вводится следующее определение. Случайные функции It и r\t, определенные на одном и том же 'Г и одном и том же вероятностном пространстве (Q, , Р) и принимающие значения
в одном и том же пространстве (X, Зв), называются стохастически эквивалентными, если они совпадают почти наверное при любом фиксированном t: при любом t Р {It ф г](} = 0.
Согласно общему духу теории вероятностей, пренебрегающей событиями, имеющими вероятность 0, считается, что подмена изучения некоторой случайной функции изучением какой-либо другой эквивалентной ей случайной функции не наносит ущерба теории и не влияет на практические применения.
Далее, если при любом — случайная величина, то ltn) при любых /ь .... tn<=T—
случайный вектор, принимающий значения в (Хп, W1). Если распределение ............. ^ мы будем кратко
обозначать .... tn-
.........................
Эти распределения при всевозможных t\, . . ., tn^T называются конечномерными распределениями случайной функции.
Конечномерные распределения имеет смысл рассматривать и для различных 11, . . ., tn, и когда некоторые из них совпадают. Однако распределения t ,
для которых какие-то из /ь ...,tn Т
совпадают, легко найти через конеч- I ^
номерные распределения, соответ- |
ствующие попарно различным элемен- [
там Т. Так, скажем, = HfS(B), }
где В = {х, у): (х, х, у) <= А} <=
e=&2(t, s е=Т, t?= s, А е=&*). ^ I с_________
Легко видеть, что если две 0 ^ It
случайные функции стохасти- Рис. 2
чески эквивалентны, то их конечномерные распределения совпадают (но, конечно, не наоборот).
Что касается реализаций, то они могут быть у стохастически эквивалентных случайных функций
17
совершенно различными. Например, пусть Т = [0, 1] и дана случайная величина т, О С т С 1, с непрерывным распределением. Положим ^==0; т]/=0, если и т)/=1, если t = т. Эти случайные процессы стохастически эквивалентны: Р{^=7^Л<} =
=Р {т = /} = 0; траектории r\t имеют разрыв в точке т, а любая траектория \t — тождественный нуль (рис. 2).
§ 1.2. Примеры случайных процессов.
Винеровский процесс
В этом параграфе мы ознакомимся с целым рядом примеров случайных функций; чтобы знакомство было теснее, предлагаются задачи, связанные с этими случайными функциями. В задачах речь идет в основном о конечномерных распределениях — это единственное, что мы пока знаем о случайных функциях.
