Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
задаваемая соотношением (Л) = Р е Л} (короткая запись
для Р ({со: % (м) е Л})). Совместное распределение случайных величин \, г), ..., ?, принимающих значения в пространствах (X, 96), (У,°Ц), ..., (7, 3Z), — это распределение случайного
вектора (?, ц, ..., ?): ^ (Л) = Р {(?, ц....?) е= Л), Ле
е*Х|УХ..-Х2.
Случайные величины г), .... ? независимы, если ? =
= X X • • • X Случайные величины из бесконечного семейства независимы, если ?а , ..., §а независимы для
любого конечного числа отличных друг от друга аь ..., ап', а-алгебры 9~ s SF независимы, если независимы любые события
А. е= А е „ . Ясно, как определяется независимость
1 ui п “га
случайных величин от 0-алгебр и т. п.
Для случайных величин, принимающих значения в метрическом пространстве X = $х), определяется сходимость по (F)
вероятности: %,п—-*¦% (я->°°), или lim (Р)?га = §> если
П“> оо
lim Р {р (|rt, g) ^ е) = 0 для любого е > 0. (Так же определяется
П"> ОО
и lim (Р) и т. п.) Предел по вероятности определяется одно-
значно с точностью до эквивалентности. Для непрерывной f из (Р) '• (Р)
|га----> § вытекает f (?rt) —> f (?). Из сходимости почти навер-
ное вытекает сходимость по вероятности; из последовательности, сходящейся по вероятности, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти наверное.
13
Из Е —> Е вытекает и. -> и. в смысле слабой сходимости.
Для числовых случайных величин определяются: математическое ожидание (или среднее)
М? = ^ ? (<о) Р №), и
дисперсия D? = M|?— М?|2 (для вещественных случайных величин это то же, что М (? — М?)2)> ковариация cov (%, т]) =
= М (g - Щ) (т) - Мл).
Чебышёвское неравенство-, для любой случайной величины § со значениями в (X, 3?), любой неотрицательной ^-измеримой функции /, любого е > О
Р«е= А,}<М/(|)/в,
где Аг = {х: f (х) >е).
Из сходимости в среднем в степени р — сходимости в пространстве Lp (?2, ST, Р) — вытекает сходимость по вероятности (следует из чебышёвского неравенства). Предел в смысле сходимости в среднем квадратическом (при р = 2) обозначается 1. i. m.
Условное математическое ожидание М (? | si-) случайной величины ? (числовой) относительно а-алгебры si- s ST — это случайная величина М (| | sf) (со) = т] (со) такая, что, во-первых, она ^-измерима и во-вторых,
jj г\ (со) Р (dcо) = (со) Р (rfffl)
А А
для любого А <= si. Из существования Mg (конечного) вытекают существование М (? | S4-) и его единственность с точностью до эквивалентности. Свойства условных математических ожиданий: линейность; монотонность (из ? ^ т] вытекает М (? | J^)^M (т] I st))\ М (?ti | si) = ?М (г| | si) для .^-измеримой если только
Мт|, М?т| существуют (или если М|т||, М ( j ? | М ( | т| 11 si)) < оо)', если s 31 s то М (М (? | !Я) | si) = М (? | si). Все эти свойства выполнены с оговоркой: почти наверное.
Пусть т] — случайная величина, не обязательно числовая, а со значениями в (X, SB). Тогда по определению условное математическое ожидание числовой случайной величины 5 относительно Т), М(Цт|) — это не что иное, как М (? | а (т|)) (события из а-алгебры (Т(г|) имеют вид {т) е Г}, ГеЖ). Эта случайная величина представляется в виде ср(г]), где ф(х) —2Е-измеримая функция на X. Функция <р(х) обозначается M{?|t| = jc} и называется условным математическим ожиданием ? при условии т| = дг (при условии, что т] приняло значение х).
Условная вероятность события А—это условное среднее его индикатора %а = %л(со).
Если ? и т]—случайные векторы, имеющие совместную плотность распределения р^ (х, у), то можно ввести условную
плотность распределения р^(х\т\ = у) = р^ (х, у)/р^ (у). При
этом для любой измеримой числовой функции М {/ (|, Т|) | г) == у }=
= ^ / (¦*. У) (¦* I Л = У) dx-
14
Подробнее об этом можно прочесть в книге Феллера (1967, т. 2, гл. IV) или И то (1960, гл. 1; 1963, § 32, 33).
Для чтения гл. 11, 13 нужно иметь понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных эллиптического и параболического типа, хотя материал, на который мы постоянно опираемся, совсем не велик: в основном постановка задачи Коши и краевых задач. В качестве источника необходимых сведений указываются книги Миранды (1957) и Фридмана (1968).
Некоторые общие обозначения. Минимум из двух чисел а и b обозначается а ЛЬ, максимум — а V Ь. Объединение двух множеств мы будем обозначать А[]В, пересечение — А[\В или АВ, разность — А\В, симметрическую разность (т. е. (А\В) U и(В\Л))—ЛАВ. Знак cz употребляется в смысле строгого включения множеств, знак ^ — для включения, допускающего совпадение. Для произвольного множества А его индикатор (характеристическая функция) ха {х) определяется как функция, принимающая значение 1 для х е А и 0 для х ф. А. Если А — событие, аргумент со в %А будет обычно опускаться. Единичную меру, сосредоточенную в точке х, мы будем обозначать дх: по определению б*(Г) = = Хг (х).
