Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагается, что читатель знаком со следующими терминами и фактами. Евклидово пространство, гильбертово пространство, банахово пространство (Колмогоров и Фомин, 1968, гл. III, § 3, 4). Порожденная системой множеств в7 сг-алгебра (обозначение: о (в7)); о-алгебра борелевских подмножеств метрического (топологического) пространства X (т. е. ст-алгебра, порожденная открытыми множествами; обозначение: Ях). Измеримое пространство, измеримое отображение, измеримая числовая функция. Мера; термин; почти всюду относительно меры ц (или: ц-почти всюду); теорема об однозначном продолжении меры с полукольца на ет-алгебру (Колмогоров и Фомин, 1968, гл. V, § 3, 4). Если si- — какая-то алгебра подмножеств X, ц — конечная мера на порожденной этой алгеброй ст-алгебре o(s4-), то для любого множества A eo(j^) и любого е > 0 существует множество Л?ё такое, что мера симметрической разности |j, (А ДЛе) меньше е (см. Халмош, 1953, § 13, теорема 4). Если (х — конечная мера на борелевских подможествах локально компактного метрического пространства X, то для любого борелев-ского множества его мера равна верхней грани мер содержащихся в нем компактов (Халмош, 1953, § 52, теорема 7). Интеграл Лебега (обозначение: ^ f (х) u (dx) или сокращенно ^ f d|j,) ;
А А
микротеорема о замене переменных в интеграле Лебега: если g — измеримое отображение измеримого пространства (X, 36) в (^. <V), f—измеримая числовая функция на (У, °У), меры ц на {X, ЗЁ) и v на (У, °У) связаны соотношением v(B) = |A(g-I(-®))> то
^ f (g (*)) V (dx) = ^ f (у) (dyy>
X Y
теоремы о предельном переходе под знаком интеграла (Колмогоров и Фомин, 1968, гл. V, § 5).
Семейство функций {fa(*)} на измеримом пространстве с мерой (х называется равномерно интегрируемым, если для любого е > 0 существует положительное К такое, что для всех функций
11
из семейства
Если последовательность }п(х) сходится почти всюду к функции / (х) и семейство {[„ (х)} равномерно интегрируемо, то функция f интегрируема, и ^ fn d]i -> ^ f ??ц при п -> оо.
Пространства LP(X, Зв, р.), р ^ 1 (сокращенные обозначения: LP,LP(X), LP{3B), Lp (р.) или Lp{d\x.)\ см. Колмогоров и Фомин, 1968, гл. VII).
Произведение сг-алгебр 95 и QJ (обозначение: Зв Х^%0; произведение мер (обозначение: |iXv; интеграл относительно [i X v
(Колмогоров и Фомин, 1968, гл. V, § 6). Абсолютная непрерывность счетно-аддитивной функции множества v относительно меры ц на измеримом пространстве (X, Зв)\ плотность v
относительно ц определению это—^-измеримая функцияg
такая, что v (Л) g(x)\i(dx) для всех /1еЖ; обозначения:
нию друг к другу. Микротеорема: если мера v имеет плотность относительно |х, то для любой измеримой функции f
Теорема Радона — Никодима (Колмогоров и Фомин, 1968, гл. VI, § 5). Слабая сходимость мер: последовательность мер на a-алгебре Six борелевских подмножеств метрического пространства X слабо сходится к мере ц на &х, если для любой непрерывной ограниченной функции f на X
Далее, предполагается, что читатель изучил курс теории вероятностей и знает такие понятия, как независимость, случайная величина, функция распределения, закон больших чисел, характеристическая функция и т. п. (см. Гнеденко, 1988; Феллер, 1967, т. 1). Предполагается также, что он знаком с аксиоматическим построением теории вероятностей и некоторыми более специальными вопросами, которые (вместе с объяснением обозначений) будут кратко изложены ниже.
записывается
теорема Фубини
А
; сингулярность мер ц, v по отноше*
А
А
X
12
Вероятностное пространство — тройка (Q, Р), где Q —
пространство элементарных событий — произвольное множество (его элементы—элементарные события — мы будем обычно обозначать буквой со); — 0-алгебра его подмножеств, элементы которой называются (случайными) событиями; Р — вероятность— мера на (Q, SF) такая, что Р (У) = 1 (вообще мера ц на (X, 96) называется вероятностной, если ц(^) = 0- Выражение «почти всюду относительно меры Р» заменяется выражением «почти наверное» (п. н.).
Предполагается, что читатель знает леммы Бореля — Кантел-ли (см. Ф ел л ер, 1967, т. 1, гл. VIII, § 3).
Случайная величина в широком смысле — измеримое отображение пространства (?3, 5^) в измеримое пространство (X, 96). (Другой термин — случайный элемент (X, 9?).) От пространства (X, 9Б) мы будем требовать только, чтобы все одноточечные множества были измеримы: {х) е 96 для любого х. Случайные величины мы будем обозначать большей частью греческими буквами: | = | (се), T]J\ л (Л) и т. п.
Случайные величины ? и г] эквивалентны, если Р {? ф г)} =
= 0.
Под а-алгеброй, порожденной системой случайных величин со значениями в (X, 8?а), мы будем понимать о-алгебру, порожденную всевозможными событиями вида s Г}, Г е
Распределение случайной величины ? — мера на (X, 96),
