Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
110
полукольцо, содержащее Хп. Так как мера продолжается однозначно также и с полукольца, то распределение случайной функции однозначно определяется значениями мер щ t на
произведениях множеств из 95, т. е. с вероятностями Р е
Посмотрим, какими свойствами должна обладать система конечномерных распределений.
Легло понять, что должны выполняться следующие простые условия.
I. Если •••, in — перестановка чисел от 1 до п\ t\, ..., tn—произвольные элементы Т\ Ль ..., Ап—¦ произвольные множества из S6, то
•V, (АЧХ\Х ••• х\) =
11 12 1 п ^ ^ п'
= ^..,,(АХ^Х... ХАп).
II. Для любых tu . . ., tn, tn + l<=T; Ль . . ., Ап f= SB ^,...y„+1(AX ... XAnXX) =
= \...tn(A1X.--XAn).
Действительно, вспоминая, что такое конечномерные распределения, убеждаемся, что речь каждый раз идет об одной и той же вероятности, а именно, 0 ..............
Система распределений \it t на (Хп, S6'1),
! П
. . ., /леГ, i=l, 2, . . ., называется согласованной, если выполнены условия I, II (условия согласованности). Мы установили, что система конечномерных распределений любой случайной функции является согласованной.
Конечномерные распределения играют по отношению к бесконечномерным приблизительно ту же роль, что функция распределения по отношению к распределениям на R1 или Rn, а условия I, II — ту же роль, что простейшие свойства функции распределения (0^ ^ ^ 1; монотонность в случае R[ и немного более
сложное условие в случае Rn). Возникает вопрос: какие дополнительные условия типа непрерывности нужно наложить на систему конечномерных распределений, чтобы ей соответствовала какая-то случайная функция, реализации которой принадлежат данному пространству функций X (для функций распределе-
111
ния, как мы знаем, такими дополнительными условиями являются lim F(x) = 0, lim /*’(*)= 1,
X — оо X -J- оо
lim F (х) = F (х0))? Естественно, дополнительные ус-
ловия зависят от функционального пространства X. Оказывается, для X =Хт никаких дополнительных условий не надо (все требования, непрерывности уже заключаются в том, чтобы ц, , были мерами).
11 • " П
Сначала установим это для случайных функций, принимающих значения из отрезка [0, 1] (в качестве а-алгебры в этом пространстве берем ст-алгебру 38 ^ ^ борелевских подмножеств этого отрезка).
4. Теорема Колмогорова (о конечномерных распределениях). Пусть любому конечному набору не совпадающих друг с другом элементов t\, ..., tn множества Т поставлена в соответствие вероятностная мера t на ([0, 1]", ц). Для того чтобы эти
меры составляли систему конечномерных распределений какой-то случайной функции, принимающей значения в ([0, 1], SS[0, и), необходимо и достаточно согласованности системы {jj., t , tv . . ., tn е Т, п = 1, 2, . . . J.
Доказательство. Необходимость — причем не только для числовых случайных функций, но и для принимающих значения в произвольном измеримом пространстве (X, 2?) — уже доказана.
Достаточность. Мы построим распределение ц на ( [О, 1]г, 3tfo, 1]), соответствующее данной системе конечномерных распределений. Затем в качестве основ-
/ т
ного вероятностного пространства возьмем ([0, 1] , \V Iх)- ПРИ этом каждое элементарное событие ш
есть функция х. на Т со значениями из [0, 1]; слу-
чайную величину ?/(ш) мы определим как значение этой функции в точке t: lt (*•) = xt. Случайная функция \t, /еГ, и будет искомой.
Определим вероятностную меру ц сначала не на а-алгебре 38{о. ц> а на порождающей ее алгебре цилиндрических множеств. А именно, для множества
С = {х.: (х/г .. х1п) <= А), (2)
где А е 31"о, п, положим
МС) = ^ , (А). (3)
Ч 1п
112
Но одно и то же цилиндрическое множество С может быть представлено в виде (2) по-разному — с разными наборами t\, /леГ и соответственно разными множествами А, так что нужно еще доказать корректность этого определения.
Задача 1. Выведите из условий согласованности, что разным представлениям цилиндрического множества С в виде (2) отвечает одно и то же значение ц(С), вычисленное по формуле (3).
Теперь докажем счетную аддитивность функции множества ц(С) на алгебре цилиндрических множеств, и тогда эту функцию можно будет продолжить до меры на порожденной этой алгеброй ст-алгебре ц. Счетная аддитивность функции множества, определенной на алгебре, равносильна ее конечной аддитивности плюс выполнение условия непрерывности в нуле:
оо
из С^СгЭ ... ЭС„Э ..., П Сп = 0 должно выте-
П= 1
кать lim ц (Сп) = 0.
П-> оо
Конечная аддитивность очевидна — она вытекает из аддитивности мер nt { (А), А <= 35" ^ (ведь для
любого конечного числа множеств вида (2) можно выбрать общий набор t\, ..., tn). Докажем непрерывность в нуле. Для счетной последовательности цилиндрических множеств Сп можно выбрать счетную последовательность t\, ..., tn, ... элементов Т такую, что каждое из рассматриваемых множеств связано с каким-то конечным числом элементов этой последовательности. Без ограничения общности можно считать, что
