Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Цилиндрическими множествами в пространстве X будем называть множества вида е X: (xt{, ... ..., xtn) е Л}, tx, ..., t п ?= Т, А<=96п. (Объяснение названия: в частном случае X = RX, Т = {1, 2, 3}, п =
— 2 это просто цилиндры с образующими, параллельными одной из координатных осей.) Легко видеть, что цилиндрические множества образуют алгебру, но (в случае бесконечного Т) не с-алгебру. Определим ст-алгебру 8?т (X) в пространстве X — наименьшую ст-алгебру, которая содержит все цилиндрические множества. Ясно, что 96ЦХ) является также наименьшей ст-алгеброй в X, содержащей все множества вида {х. е X: xt е A}, t^T, А ^96.
Распределением случайной функции %t, /еГ, в пространстве X мы будем называть вероятностную меру р? в пространстве (X, 9?Т(Х)), определяемую
108
соотношением (С) = Р {?. <= С}; т. е. значение этой меры на множестве С в функциональном пространстве определяется как вероятность того, что выборочная функция принадлежит этому множеству.
Мы можем рассматривать распределение случайной функции в различных пространствах, которым принадлежат все или почти все ее реализации; для любой случайной функции мы можем использовать пространство Хт всех функций xt, t^T, со значениями в X. В этом случае для соответствующей ст-алгебры мы будем использовать более короткое обозначение 96т.
Почему вероятность Р е С} определена для любого С е 96т (X)? Рассмотрим множество всех подмножеств X, для которых эта вероятность определена, т. е. I.1 (С) принадлежит ЗГ— нашей основной ст-алгебре в вероятностном пространстве. Это множество множеств является ст-алгеброй, и оно содержит все множества вида {х. еА: xt ен А}; значит, оно содержит и наименьшую ст-алгебру, содержащую все такие множества, т. е. 9?Т(Х).
На бесконечномерные распределения переносятся многие понятия и результаты, известные нам для конечномерных; в частности, для нас важно следующее свойство: если f — 96т (X)-измеримый функционал, то
М/(|.) = $/(*.) (<**•), (1)
X
причем оба интеграла сходятся или расходятся одновременно. Это — теорема о замене переменных в интеграле Лебега (см. введение).
2. Рассмотрим немного подробнее ст-алгебру 96Т(Х). Оказывается, для любого множества С из этой ст-алгебры существует не более чем счетное число элементов (h t2, • , t„, ... е?1 таких, что
принадлежность функции множеству С определяется только ее значениями в точках t\, t2, ... Точнее, существует множество А, принадлежащее счетному произведению ст-алгебры -96 самой на себя 96°° — 96 X Х96Х • • • > такое, что С состоит из тех и только тех функций х. е X, для которых (xtl, xt„ ...)е А Иначе говоря,
geT{X)= U 96{и'и"л (X),
{tи it, ...} <=Т
10Э
где 8S{t" (X) — cr-алгебра в пространстве X, по-
рождаемая множествами вида |лг. eI: xtt е Л}, Л е=Я?, t= 1, 2, . . .
Доказательство этого несложно. Указанная несчетная сумма ст-алгебр, как легко видеть, сама является ст-алгеброй (здесь используется то, что сумма счетного числа множеств {t\,t2, ¦ ¦ ¦} сама счетна); она является частью 8ST{X)\ и так как 3?Т(Х)—наименьшая ст-алгебра, содержащая все {х. ^ X: xt е Л}, (еГ, Ле^, то обе ст-алгебры совпадают.
Отсюда следует, что в случае несчетного Т такие
множества, как {*.: supxt^c}, или множество всех
t <= г
функций, непрерывных в точке to, или множество всех функций, непрерывных справа, не принадлежат W (мы используем здесь обозначение <ЙТ, потому что в качестве ст-алгебры 8S в случае числовых функций берется ст-алгебра 38 1). Соответственно не измеримы относительно 38т такие функции на RT (т. е. функционалы): sup xt, lim xt и т. п.
(el <-><о
Рассмотренное нами свойство сг-алгебры SST (X) напоминает факт, рассмотренный в § 3.1: для любой случайной величины г) из L2t существуют последовательность t\, ti, ..., t„, ... элементов Т и последовательность функций fn от п переменных такие, что г\ = 1. i. m. f„ (If , ¦ • I* Это не удивительно, потому что
П -> оо VI п)
ст-алгебра т состоит из прообразов множеств из SB7 (X) при отображении ш -> (т). Однако любой факт, относящийся к
^-пространствам, справедлив лишь с точностью до множеств меры 0, тогда как результат, доказанный выше, вообще не касается никакой меры.
3. Далее, ст-алгебра 3?Г(Х) порождается алгеброй цилиндрических множеств:
зет{х) = а{ U %{t'...............
{'..
По теореме о продолжении меры мера на ст-алгебре 95Т(Х) однозначно определяется своими значениями на алгебре, порождающей ¦8?Т(Х). Это означает, что распределение случайной функции однознач-
но определяется конечномерными распределениями И*,,..., t при всевозможных различных t\, ..., tn<^T.
Более того, вспомним, что ст- алгебра Я?" = ЗВ X • • • X SB определяется как ст-алгебра в Хп, порожденная множествами Ai Х'- Х^л, Ai^SB, а система всех таких множеств образует
