Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(а — e~a)~! = а-1 + я~2е+ а Зе~2а + ... еС<0.
Рассмотрим пример: f(X) = 5 + 4 cos К (соответствующая корреляционная функция: К(0) — Юл,
/С(±1) = 4я, К. (л) =0 при | /г | > 1). Имеем
f (Л) — 5 + 2 (е11 + е~!’Л) = е1Х (2е2,Л + 5егл + 2) —
= 2е" “ (> + у) (е?Х + 2) = (2 + е' «¦) (2 + е‘х).
Здесь первый множитель есть fi(X), а второй /2(Я). По формулам (5), (6) получаем для прогноза на
105
один шаг
g W — c_Ji (A,) 1
Для прогноза на большее число шагов g — 0, т. е. наилучший линейный прогноз не использует наблюдаемых значений |о, ?-ь 1-2, ¦ ¦ ¦ ; ошибка прогноза
Средний квадрат отклонения от истинного значения прогноза на один шаг равен 2л|с0|2 = 8я, т. е. и прогноз на один шаг тоже очень плох в данном случае.
Задача 3. Найти наилучший линейный прогноз для \т по значениям \п, п =s; 0, в случае стационарной последовательности с математическим ожиданием 2 и спектральной плотностью /(Я) = (25 + 24 cos Л)“‘ (корреляционная функция равна К(п) =
Не забудьте учесть, что М|„ ^ 0, и внести в формулы для прогноза соответствующие изменения.
6. Формулы (5) — (8) могут сохранять смысл и тогда, когда плотность /(Л) в некоторых точках обращается в нуль или в бесконечность, но их применение уже не обосновано. Полезно посмотреть, что можно при этом сказать о задаче наилучшего линейного прогноза. Наилучший прогноз в этом случае не обязательно представляется в виде суммы ряда (6), потому что соот ветствующая функция g'(X) может не принадлежать L2(dk), имея точки, при приближении к которым она слишком быстро растет.
Задача 4*. Найдите наилучший прогноз за один шаг для стационарной последовательности со спектральной плотностью /(^)=2 + 2cos^ (К( 0) = 4тс, K(zt 1)=2л, К(п) = 0 при
\п\ > 1).
А. Н. Колмогоровым было доказано, что стационарная в широком смысле последовательность, имеющая спектральную плотность, тогда и только тогда линейно сингулярна, когда
(этот интеграл уже возникал у нас в формуле (8)), и тогда и только тогда линейно регулярна, когда интеграл сходится.
Задача 5*. Докажите, что из сингулярности следует (9) (в случае, когда есть спектральная плотность).
(?J<0 = 0 равна D?m = 10jT.
^ In f (A,) dX
ОО
(9)
-я
106
Задача 6*. Приведите пример стационарной в широком смысле последовательности, не являющейся ни линейно регулярной, ни линейно сингулярной.
Формулы для наилучшего линейного прогноза в случае стационарного процесса с непрерывным временем можно также написать по аналогии с формулами для стационарной последовательности, используя вместо рядов Фурье преобразование Фурье.
Разумеется, после того, как формулы написаны, их следует доказать.
В частности, для корреляционной функции К (т) = сг2е~а' т* имеем
f ____________ аа2/я __ а Vа/л а Vа/л
а2 + А2 а + /Я а — гЛ
Здесь первая функция
о
fi (А) = о л/а/л ^ eate‘kt dt
- оо
представляется в виде интеграла Фурье только по отрицательным значениям t, а вторая — комплексно-сопряженная к первой. По аналогии с формулой (5) имеем для прогноза на время s > О
О
J eMeait-s)dt-f1(Xr,=e-as.
— ОО
Этой функции (константе) соответствует такой наилучший линейный прогноз для по {?;, t ^ 0}:
= е 5?о-
В более сложных случаях g содержит слагаемые вида Cn(i\)n, а также остаток, стремящийся к нулю на бесконечности;
в (?s)<o это Дает ^ — линейную комбинацию произвол-
П
ных в последний наблюдаемый момент времени плюс интеграл с некоторой плотностью по всему прошлому процесса.
Задача 7*. Найдите наилучший линейный прогноз для стационарного процесса с корреляционной функцией К (т) = (1 -f-+ a j т |) е~а'хК
Глава 5
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. СВОЙСТВА С ВЕРОЯТНОСТЬЮ 1
§ 5.1. Распределения случайных функций.
Теорема Колмогорова о конечномерных распределениях
1. В п. 2 а) § 1.3, мы уже наметили проблемы, о которых будет идти речь в этой главе. Прежде всего скажем, что такое распределение случайной функции.
Распределение случайной величины или случайного вектора — это мера в измеримом пространстве (/?', &!) или (Rn, $п), определяемая соотношением (С) = Р {I е С). Рассмотрим случайную функцию It, t е Т, принимающую значения в измеримом пространстве (X, 96). Пусть почти все реализации этой случайной функции принадлежат некоторому пространству X, состоящему из функций xt, t еГ, со значениями в X. Распределение случайной функции — это будет мера в этом функциональном пространстве. Однако, прежде чем об этом говорить, нужно ввести в пространстве X ст-алгебру.
