Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Книга делится на главы, главы — на параграфы; параграфы — на пункты: 1, 2 и т. д., пункты — иногда на подпункты: а), б) и т. д. (при ссылках, например, так: п. 2а)). Нумерация формул, теорем, задач и т. п. своя в пределах каждого параграфа (при ссылках в пределах одного параграфа указывается номер формулы, задачи и т. п.; за пределами параграфа дается также номер параграфа).
В решениях задач формулы нумеруются в пределах одного решения: (*), (**) и т. д.: ссылка
7
например, просто на формулу (5) или задачу 3
означает, что формула или задача находится в том же параграфе, что и данная задача.
Ссылки на список литературы даются указанием фамилии автора (фамилий авторов) и года издания.
Автор выражает благодарность прочитавшим различные части рукописи и сделавшим замечания по ее улучшению: С. А. Молчанову, Е. Б. Дынкину,
Е. С. Вентцель и в особенности А. Н. Ширяеву;
О. А. Бояриновой, без самоотверженной помощи ко-
торой книга, конечно, не вышла бы; а также Т. Пахомовой, В. Орлову, Н. Гоз и другим студентам, взявшим на себя часть работы.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении самых разных явлений действительности мы сталкиваемся с процессами, предсказать течение которых заранее не можем. Например: колебания высоты полета самолета около того значения, которое он должен выдерживать; движение отдельной молекулы в газе, заключенном в сосуд; размножение бактерий в питательной среде. Мы не можем заранее предсказать, например, будет ли в такой-то момент времени колония состоять из 1001 или 1002 бактерий и в каком месте какая бактерия будет находиться.
Такие процессы можно изображать случайным движением точки в специально подобранном для каждой задачи пространстве. Так, колебания высоты полета опишет точка, движущаяся по числовой оси; движение молекулы — точка, движущаяся в области трехмерного пространства, имеющей форму сосуда (в сущности, и сама молекула — почти что точка). Для описания размножения бактерий придется построить более сложное пространство. Пусть питательная среда заключена внутри стеклянной трубочки, толщиной которой мы можем пренебречь. Составим пространство из одной точки *, отрезка [0, /] (/ — длина трубочки), треугольника {(х, у):
0 ^ у ^ х ^ /}, тетраэдра {(х, у, z): 0 ^ г ^ у ^ четырехмерного симплекса {(*, у, г, и):
0 и z у х 1} и т. д. — возьмем счетную сумму множеств возрастающей размерности (рис. 1). Точка * будет означать, что ни одной бактерии у нас не осталось; точка х на отрезке [0, /] — что есть ровно одна бактерия и она находится на расстоянии х от левого конца трубочки; точка (х, у) треугольника — что есть две бактерии на расстояниях от левого
9
конца соответственно х и у, и т. д. При делении какой-либо из бактерий точка, изображающая состояние системы, будет перескакивать в симплекс следующей размерности, а когда одна бактерия гибнет, в симплекс предыдущей размерности. Иногда приходится рассматривать и более сложные пространства.
Далее, движение точки в каком-то пространстве — это функция от аргумента t (времени) со значениями в этом пространстве; случайное движение — это функция от времени со случайными значениями в пространстве, о котором идет речь. То есть математическая модель случайных процессов реального мира — это функция от /, значения которой — случайные величины; причем мы должны быть готовы к тому, чтобы это были не случайные величины в узком смысле — не числовые, а принимающие значения в более или менее произвольном пространстве. (Не будем обсуждать условий применимости вообще теоретико-вероятностных понятий к явлениям реального мира.)
После того как мы пришли к такой математической модели, ее можно обобщать в различных направлениях. Разумное обобщение — рассматривать случайные функции от аргумента /, не имеющего смысла времени и могущего принимать значения не на числовой оси, а в каком-нибудь другом множестве. Это может быть нужно, в частности, для изучения изменчивости тех или иных величин не во времени, а в пространстве.
Предварительные сведения. Обозначения. Прежде всего предполагается, что читатель довольно хорошо владеет математическим анализом (в объеме первых трех лет университетского курса), в частности что он знаком с мерами, интегралом Лебега и с элементами
I
I
I
Рис. 1
10
функционального анализа (гильбертово и банахово пространство, линейные операторы). Автор старался придерживаться терминологии книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа», (М.: Наука, 1968) и пользоваться в основном сведениями по теории меры и функциональному анализу, содержащимися в этой книге; когда приходилось выходить за эти пределы, автор старался отослать читателя к какому-нибудь широко распространенному руководству.
Множества мы обычно обозначаем прописными латинскими или греческими буквами; системы множеств — рукописными (s?, S3, ...); различные функциональные пространства — жирными (например, С, L2). Множество элементов х, для которых выполнено то-то и то-то, мы обозначаем {х: . . .}.
