Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(сходимость в среднем квадратическом).
102
Что касается средней квадратической ошибки прогноза, то она равна
я
сг2(ш) = ^ jeimK — g (X) |2 / (X) dX =
= 5 \[eln*-g(mfi(V?dk= 5 | h{X)fdX =
-я -Я
я
= ^ \c0eimk ... ~f c_m + xeiX |2 dX =
— Я
= 2л [ [ с012 + | c_i |‘ + ... +|c_m+if]. (7)
При т—»- оо это выражение стремится к
оо Я Я
2я^ |c_„F,= J 1Л(Я)Р^Я= J f(Я)rfX = /С(0) = Dgft.
л-0 - я -я
Таким образом, здесь имеет место линейная регулярность.
4. Чтобы можно было применить построенную теорию, нам нужно научиться разлагать спектральную плотность на сопряженные друг другг множители, принадлежащие вместе с их обратными С^о, соответственно С^>о, Для любой достаточно гладкой (на окружности) положительной функции f это можно сделать следующим образом. Логарифм положительной функции столь же гладок, как и сама функция; значит, его можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье:
1п/(Я)= ... + a_2e~2iK + + а0 +
+ ахеа + a2e'lik + . . .,
причем в силу вещественности логарифма а_п = ап, а0 действительно. Эту функцию можно представить в виде суммы двух сопряженных друг другу функций: -j- + а_[е~1Х + а_2е '2а + ... из С<0 и ~ + ахеаа2е2а... из С>й. Теперь остается положить /[ (X) = exp |-у- + а_\е~а + a__2e~2iX + ...| и
аналогично для /2. Функции /, и /~' принадлежат С<0 как ехр от функций из С^0.
103
Пользуясь разложением ez = 1 + z -f- z2/2 -f-мы можем выразить коэффициенты Фурье функции f 1
через do, fl-i, ci-2, ... В частности, с0 = 1-f--у- -f-+ —Ь ¦ ¦ • = еа°/2- Отсюда
2!
о2 (1) = 2л | с012 = 2леа° = 2я ехр
(8)
Заметим, что для практических применений нам зачастую важнее знать ошибку наилучшего прогноза, чем формулы, осуществляющие этот прогноз. Дело в том, что, если паилучший прогноз окажется сложным и неудобным для вычисления, можно вместо него пользоваться какой-либо более простой — но не наилучшей— оценкой; но нам необходимо знать, много ли мы при этом теряем, намного ли лучших результатов можно бы было добиться, используя наилучшую оценку.
Выше предполагалось, что функция f — гладкая и что ряд Фурье для ее логарифма равномерно сходится. Но совершенно нет необходимости, чтобы к функции In / (X.) равномерно сходились именно частичные суммы Sn(X) ее ряда Фурье, — достаточно, чтобы это были любые тригонометрические многочлены. Пользуясь теоремой Фейера, говорящей, что к любой непрерывной периодической функции равномерно сходятся суммы ап(^) = = (So(X) -f- Si (X) + ... -f- Sn-i (X) )/п (см. Колмогоров и Фомин (1968, гл. VIII, § 2)), мы получаем представление (3) для любой непрерывной положительной спектральной плотности.
Для разрывных, но ограниченных сверху и снизу спектральных плотностей можно получить аналогичные результаты, воспользовавшись вместо пространств С<0, С>0 пространствами функций, к которым последовательности тригонометрических многочленов с неположительными (неотрицательными) степенями е1^ сходятся почти всюду, оставаясь равномерно ограниченными
5. Указанный метод факторизации плотности является общим, и, значит, в конкретных случаях выгоднее пользоваться не им, а какими-нибудь методами с более узкой областью применимости. Так, часто приходится рассматривать случай, когда f(X) представляется рациональной функцией от еа:
WV). _ Р(*Л)
' { ’ Q {е1к) '
где Р и Q — многочлены. Из действительности отношения многочленов на единичной окружности вытекает, что их корни (корни и полюсы рациональной функции Р/Q) разбиваются на пары симметричных
104
относительно окружности (т. е. получаемых друг из друга инверсией), и еще они могут иметь какой-то кратности корень 0:
= czk (z-ZlKz-zf1) - (Z-Z„) (z-2n')
Q (z) (z - wx) (г - a>f') ... (z - a/m) (z - ’
где k может быть и положительным, и отрицательным, и нулем. Пусть корни zu ..., 2„, wu по
модулю больше единицы, a zf', ..., гй1, ом-1, ... ..., гйш* — меньше. Перепишем выражение для P/Q:
Р(г) ,_г k+n.-m (Zi—2)(г,—г-1) ...(Zn —2)(гп —г~‘)
Q (z) (wx — г) (й/! — г”1) ... (wm — г) (гаш — г^1)'
При z = elk дробь действительна, поэтому коэффициент С тоже действителен, а степень k-\-n — т = = 0. Таким образом, получаем
г,,ч___r (zi — etX) (z| — е~,А-) • • • (zn — еЛ) (z„ — е^)
(ш, — etX) (ш, — e~tX) ¦ ¦ ¦ (wm — elX) (wm — e~,x)
Теперь в fi(X) включаем множитель -у/С и те скобки, в которых участвует е~‘к:
п т
h (Я) = л/С П (г, -е ‘Х)Ц (wk - е-*)-\
/=1 А=1
При этом / (Я) — /j (Л-) /j (Я); докажем, что Для этого достаточно проверить, что для |а]>1 функция (а — e~iXy[ е С<о (то, что (а — е~гя-) е С<о, очевидно). Имеем
