Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1*. Можно ли функцию 1 /г приблизить равномерно сколь угодно точно многочленами на всей единичной окружности комплексной плоскости, за исключением произвольно малой дуги?
4*
99
3. В случае линейно сингулярных последовательностей наилучший (абсолютно точный)' линейный прогноз находится при самом доказательстве сингулярности: например, для последовательности, удовлетворяющей условиям микротеоремы п. 2 прогноз на один шаг дается формулой
(«Г)<0=|л 11 Ч (ЛЧГ‘ (-!>*?-,¦
Посмотрим, что мы можем сделать в регулярном случае.
Рассмотрим самый простой, по-видимому, случай, когда у нашей стационарной последовательности существует спектральная плотность f(X), ограниченная сверху и снизу двумя положительными константами: О С Ci ^ f(l) ^ С2 С оо, —л <С К ^ л. В этом случае функция на (—л, л] принадлежит U(d\i) тогда и только тогда, когда она интегрируема в квадрате относительно меры Лебега, и понятия сходимости в среднем квадратическом, замыкания и т. п. относительно меры (х и относительно меры Лебега совпадают (не совпадают скалярные произведения, ортогональность, проекции).
Введем ряд пространств функций на (—л, л]. Прежде всего определим пространства Л<о и ft>о — подпространства L2(—л, я], являющиеся замкнутыми линейными оболочками множеств функций {einX, п ^ ^0} и [einX, п >> 0} соответственно (безразлично, рассматривать замыкание в пространстве Ь2((—л,я], \k(d%)) или в Ь2((—я, л], d%)). Любой элемент Ь2(—л, л] представляется единственным образом в виде суммы элемента из ft<o и элемента из ft>о; но подпространства о и Л>о не ортогональны в смысле L2(fi(dX)) (они ортогональны только в смысле L2(d%)). Для того чтобы функция принадлежала Л<о соответственно Л>о), необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты Фурье, отвечающие положительным (соответственно неположительным) степеням е‘х, были равны нулю (потому что любая функция из Ь2(—л, я] разлагается в сходящийся в среднем квадратическом ряд Фурье). Пространства Л<0, h>0 соответствуют при спектральном представлении нашей случайной последовательности пространствам случайных величин Я°>о-
100
Условие наилучшего прогноза (1) можно теперь переписать в виде
Я
^ (^)] f (X)e~inkd'k = 0, nsgCO,
— Я
ИЛИ
f(X)<= h>0 (2)
(причем g е Л<о).
Далее, рассмотрим множество о (С>о) функций на (—я, я], приближаемых сколь угодно точно линейными комбинациями функций е‘пХ, п ^ 0 (соответственно п^О), в смысле равномерной сходимости (все эти функции непрерывны на отрезке от —я до я с отождествленными концами). Эти множества замкнуты не только относительно сложения и умножения на число, как Л^о и Л>о, но и относительно умножения функций друг на друга (т. е. б, С>о — алгебры функций). Это вытекает из того, что произведение двух тригонометрических многочленов, содержащих только неположительные (неотрицательные) степени еа,— опять такой же многочлен. Более того, для geC^o также и ехр^еС<0 (из-за того, что целая функция ег сколь угодно точно приближается многочленами в смысле равномерной сходимости в любой ограниченной области комплексной плоскости). Легко доказать также, что:
Задача 2. Если gx^h^ о, g2 е С<0, то g{g2 е о; если gl(=h>0, g2e^C>0, то glg2e^h>0. Покажем, как решается задача наилучшей линейной экстраполяции в предположении, что спектральная плотность f(X) (непрерывная) представляется в виде
/(Л) = ЫЛ)ЫЛ), (3)
где /, еС<0, /~‘еС<0, /2(Я) = /,(Я) при — я<А<я. Условие (2) переписывается теперь в виде
[el^-g{k)]fl{X)f2(k)^h>0. (4)
Функции /2(^) = /1 (Л.), /2(А) ' — /[(Я) 1 принадлежат о-, значит, умножая выражение (4) на /2(Я,)-1,
101
получаем равносильное условие:
[einA — g(k)]fl (А)е4>0.
Обозначая эту функцию h(X), получаем условие наилучшего линейного прогноза:
eimHi(*-) = + о, ЛеЛ>о.
Требование принадлежности g подпространству Л<0 равносильно требованию g ¦ е ^<0, так как /р
е С<0. Значит, дело сводится к тому, чтобы представить функцию eimkfi(A) в виде суммы функции из А<о и функции из А>о- Но это разложение получается очень легко, если разбить ряд Фурье этой функции (сходящийся в среднем квадратическом) на сумму по неположительным степеням е‘х и по положительным.
Проделаем это. Пусть
/iW = Co + C-1e_a + c_2e~2iX + ...
(ряд сходится в смысле L2(—я, я]). Тогда
e':mXfl (к) = c0eimX + \в1 (т -х + ...
• •• + C-m+ie'x + с_т + с_т_{е~‘х +
Ясно, что первые слагаемые (до с_т+\eiX) представляют собой h(X), а бесконечный ряд, начинающийся с с-т, дает g(K)fi (I).
Значит, наилучший прогноз получается следующим образом: функция
g М = \с-т + C-m~l е а + с-т-2е + • • • ]/l W ' (5)
разлагается в ряд Фурье
g(X) = b0 + b_\e~iX + b_2e-2iX+ ...,
и прогноз для ?т по значениям п ^ 0, дается формулой
(U<0==^0 + 6-.^l+*-^-2+ ••• (6)
