Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пч
1—Yjh = m+ J _4_?e«.W).
{- я, л]
При л2 — «i-^оо функция под знаком интеграла стремится к единице для А = 0 и к нулю для остальных X; при этом она мажорируется интегрируемой в квадрате относительно функцией 1, так что имеет
место сходимость в среднем квадратическом. Поэтому
П 2-1
Л. i. m. —
n-i - п 1 -> оо \
%k = m+ \ x{0)W?(^) =
k = n\ (“Л, л]
= « + ?{ О}-
В непрерывном случае пользуемся задачей 4 § 2.2:
1. i. ш.
t-1—t 1-> оо
*2
= -Ь 1- i. т.
t 2— 11 ОО
оо г <2
ЦтрМ''"'" tw =
¦— оо ^ -»
оо
= т+ ^ Х{о} —т + ? {0}.
4 А. Д. Вентцель
97
Итак, предел среднего существует всегда и равен математическому ожиданию т плюс значение случайной меры ? на одноточечном множестве {0}. Необходимое и достаточное условие сходимости среднего к математическому ожиданию состоит в том, чтобы спектральная мера от этого одноточечного множества равнялась нулю: ц{0} =0.
§ 4.3. Решение задачи линейного прогнозирования
1. Установим для некоторых стационарных процессов, являются ли они линейно регулярными (сингулярными).
Примером линейно сингулярного процесса может служить = A cos(i + ф), где совершенно точный линейный прогноз осуществляется использованием формулы ?/, = ?f,-2nn- Также сингулярен будет процесс с аналитической корреляционной функцией, например Л^(т) = 1/(1 +т2). В этом случае процесс вблизи любой точки на оси времени разлагается в ряд Тейлора, сходящийся в среднем квадратическом; линейная формула, осуществляющая абсолютно точный прогноз на небольшой промежуток времени, такая:
^, = ^ + r!j'i-V) + ^i-V)72+ •••
Линейно регулярными являются: последовательность с некоррелированными значениями; последовательность ее разностей ¦>!*== It — ?*-il стационарный вопрос с корреляционной функцией К(т) = (1 — |т|) V 0 (доказать!).
Пользуясь этим последним примером, мы обнаруживаем, что стационарный процесс может быть сингулярным и в то же время линейно регулярным: процесс ?; = A cos(r\t + ср)—случайная
синусоида — допускает абсолютно точный нелинейный прогноз, но он линейно регулярен, если подобрать (А, т|) так, чтобы у него была соответствующая корреляционная функция.
2. Рассмотрим применение к задаче линейного прогнозирования спектральных представлений; ограничимся более простым случаем стационарных последовательностей. Предположим для простоты, что т =
= М?, = 0.
Изоморфное соответствие f •«-»- ^ f (к) t,(dk) между
( - Я, Я]
пространствами L2 ((— я, я], djx) и Н% сводит задачу прогнозирования %т по значениям п^О*), к задаче нахождения элемента g замыкания в L2(d\n) линейной оболочки функций е'тХ, п ^ 0, такого, что
*) Задача прогнозирования по наблюдению случайной последовательности до момента п ф 0 сводится к рассмотренной задаче при помощи операторов сдвига; см. п. 8 § 3.3.
98
eim}. — g-(x,) ортогонально этому подпространству в смысле соответствующей метрики. Достаточно ортогональности ко всем образующим этого пространства; поэтому условия на g следующие:
^ [eiml — g (^)] g-inkp (dX) — О, п^.0. (1)
(-я, я]
Условие линейной сингулярности заключается в том, чтобы множество линейных комбинаций функций е1п%, п ^ О, было всюду плотно в L2(d\i.). Достаточно, чтобы только функцию ei% можно было приблизить в среднем квадратическом этими линейными комбинациями.
В качестве примера докажем следующую микротеорему.
Микротеорема. Замкнем отрезок от —я до я в окружность. Если на этой окружности существует дуга длиной более половины окружности, на которой спектральная мера равна нулю, то рассматриваемая стационарная последовательность линейно сингулярна.
Доказательство. Положим e~iK = z, и пусть середине той дуги, на которой мера не равна нулю, соответствует при этом точка z0. Выберем настолько большое N > 0, чтобы всюду на этой дуге было |Nz0 — z\ < N. (Непременно сделайте чертеж.) Т огда
«я _ J_ _________1 _
е z Nz0 + (z — Nz0)
1 I Nz0 — z . (Nzo — z)2 , __
— Nz0 (Nz0)2 “Г (Nz0)3
OO
= Z (Nz0rn-1-{Nz0-e-*)n,
n = 0
причем ряд сходится равномерно на дуге, на которой мера отлична от нуля. Значит, он сходится и в смысле L2(dii).
Можно доказать, что для линейной сингулярности достаточно обращения меры ц в нуль на сколь угодно маленькой дуге. В связи с этим предлагается необязательная задача.