Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
== [ lim h~l(ea{t+h) — eiU)t,(dX) = [ eiU ¦ iXt, (dX). (5) J h->0 J
— 00 — 00
Предел в среднем квадратическом здесь существует тогда и только тогда, когда функция Ъгх (eilh—1) сходится при A-vO к IX в среднем квадратическом относительно |л(с?Я), т. е., как легко проверить, при
оо
5 Х2\х (dX) < 00. Полагая т (Л) = ^ iXt, (dX), приводим
— оо А
(5) к виду
оо
l't=. J e^x(dX)
— 00
(см. задачу 3 § 2.2); это — спектральное представление процесса %'t. Спектральная мера этого процесса легко находится:
^т(Л) = М|т(Л) р = м
j^(^) 2=$|арцц(<а).
Аналогично для дифференциального оператора Р где Р — многочлен: Р(х) = а0 + ахх + . . . + апхп —
спектральное представление % = Р Ъ задается формулой
оо
Т]t = a0m+ 5 ешР (iX)t,(dX),
— 00
91
где т = М?/, Мт|( = a0tn = Р т> а спектральная
мера
пл
И) = 5|Р(1Л) Р|166(?/Л).
Посмотрим, что будет для интегральных операторов:
оо
Л* = 5 B(t — s)lsds =
— оо
ОО СО Г ОО *1
= ^ В (/ — s) т ds + М ^ В (/ — s) еа% (dX) ds.
— оо — оо *• - оо
оо оо
Получаем, что Мт^ = ^ В (t — s)mds= ^
— оо — оо
(предполагаем, что интеграл сходится). Если функция В обращается в нуль вне конечного отрезка, т. е. интеграл по s фактически собственный, применяем результат задачи 4 § 2.2 и сводим повторный интеграл к
ОО Г* ОО -1
S ^ -8 (/ — S) eiXs ds
• Ofl •- -Ой J
s) eiXs dsj ? (dX).
Делаем во внутреннем интеграле замену s = / + и; он превращается в eiltg(k), где g{^) =
оо
= ^ В (—и) еа“ du. Отсюда получаем спектральное
— оо
представление:
оо оо
ть= $ В(—u)mdu+ ^ eiXtg{K)^{dK). (6)
— оо — оо
То же будет для несобственного интеграла (при условии его сходимости в среднем квадратическом).
Теперь мы можем сформулировать общее правило, которое будет годиться и для дифференциальных операторов, и для интегральных, и для их комбинаций.
93
Спектральное представление процесса j]/=Л?/ задается формулой (6), где g(%) при каждом К получается следующим образом: нужно применить оператор А к функции еш и взять полученную функцию в точке t — О (это можно записать такой формулой: g (I) = Аеа’ (0)).
Спектральная мера процесса г|; задается формулой
^nn(^) = 5l^WlV||(^)- (7)
А
Если существует спектральная плотность fn(X), то спектральная плотность процесса т\* = A\t получается из нее умножением на |g(A) |2.
Это же правило применимо к инвариантным относительно сдвигов операторам, действующим на функции от дискретного аргумента.
Задача 2. Пусть —оо < п < оо, — стационарная в широком смысле последовательность со спектральной плотностью /(Я.), X е (—я, я]; М|п=0- Каковы условия существования
ОО
т)п = Д|„ = 1. i. rn. ^ qk\n_k и как выражается спектральная ‘И1 k=0
плотность этой стационарной последовательности?
б) Интегрирование, стационарные решения уравнений. Решение уравнения Р Л/ = Р(х)~
= а0 + а\Х... -\-апхп, находится при а0?= 0 в виде
оо
Т)( = Oolm + 5 Р егк\ (dX),
если только ^ |Р(/А)| 2 ji^ (dA) < оо; если же этот
— оо
интеграл расходится, из результата п. а) легко вывести (от противного), что решения нет. В случае а0 = 0 решение существует только при m = Mlt = 0, причем к нему можно прибавить произвольную случайную величину Z, некоррелированную с ?(/1):
оо
rjt = Z+ J Р ешШХ).
— оо
96
В частности, стационарный вариант первообразной непрерывного в среднем квадратическом случайного процесса существует, когда
© ?*4= /?П
Рис. 11
Задача 3. Электрическая схема, представленная на рис. 11, состоит из источника тока, устройство которого не указывается, конденсатора емкости С и сопротивления R. Пусть ток, испускаемый источником, представляет собой стационарный случайный процесс с математическим ожиданием /0 и корреляционной функцией К ti (т) = (Л/)^е“а 1 т I. Найдите математическое ожидание и дисперсию напряжения г); на конденсаторе при стационарном режиме (т. е. при условии, что т]<— стационарный процесс).
в) Закон больших чисел. В дискретном случае
п2- 1
п2- 1
