Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а операторам 0Й соответствуют в пространстве L2(d[i) операторы умножения на eiXh.
Доказательство. Обозначим для краткости
— m = Начнем строить отображение 1(f), которое, как мы затем докажем, будет задаваться формулой (2). Функции f вида
f(l) = Cleilt' + ... +спешп (3)
поставим в соответствие случайную величину
I(f) = c$+.,.+cnl]n. (4)
Отображение I совершенно очевидным образом линейно; проверим, что оно изометрично:
М | + • • • + сгЛ°п I = Y c (0 *k) =
1, k
= Yj 5 elKt!elKtk\L (dX) = 5 | / (X) f fx (dX) j, k
91
(интегралы, как и прежде, по (—оо, оо) в непрерывном случае и по (—л, л] в дискретном случае).
Из изометричности и линейности вытекает, что для /1 = /2 почти всюду (е^ц.) соответствующие /(/1), /(/2) совпадают почти наверное, т. е. что это — отображение из пространства L2 (d\i) в Н°т. Оно продолжается по непрерывности до изометрического (а стало быть, взаимно однозначного) линейного соответствия между замыканиями множеств функций вида (3) в L2(d\i) и случайных величин вида (4) в НПг. Последнее замыкание по определению совпадает со всем Н°т', первое совпадает с L2(d\i). Это не вытекает — даже в случае отрезка (—л, л] —из того, что любая интегрируемая в квадрате функция разлагается в сходящийся в среднем квадратическом ряде Фурье: ведь L2((—л, л], d[i) ф L2((—л, л], dx). Доказательство можно провести, например, так: в пространстве
L2(dfi) всюду плотно множество ограниченных функций, в нем — множество ограниченных непрерывных или даже дважды непрерывно дифференцируемых, в нем — периодических функций с теми же свойствами, а каждая из них разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье*).
Утверждение о виде операторов, соответствующих 0й, вытекает из того, как определяется 1(f) для функций вида (3).
Теперь положим ? (А) = I (хл) - Это — случайная мера с ортогональными значениями с нулевым математическим ожиданием и М I ? (А) |2 — ц. {А). Действительно, М?(Д) = 0 потому, что это случайная вели-
туОО тт
чина из Нт - Далее,
иил)Ш) = Ш(хА)Тш==
= 5 Хл М Хв М ц {dX) = \l(A n В)\
это дает нам и некоррелированность значений для непересекающихся множеств, и М|?(Л) |2 = ц(Л).
Отображение I линейно и изометрично, причем ^ (хл) = t (А); в силу единственности стохастического интеграла (теорема 1 § 2.2) для всех f^L2(d\i)
*) На дубе — сундук, в сундуке — заяц, в зайце — утка, в утке — яйцо, в нем — иголка, а в иголке — Кощеева смерть.
92
имеем
В частности, для f(X) = е'а:
I{f) = it-m=\e"K(dl).
Отсюда, наконец, получаем (1).
2. Рассмотрим очень простой пример спектрального представления. Для процесса примера 1 § 1.2, к которому мы возвращались в предыдущем пара-
графе, имеем \t = A cos (г)/ + ф) = е‘фе1Т1* +
+ еэто — уже готовое спектральное представление. Соответствующая мера с ортогональными значениями ? сосредоточена в точках ±т], и ?-меры одноточечных множеств {rj}, {—т]} равны соответст-А А
венно -у?1ф, (для тех элементарных событий,
для которых л = 0, случайная мера ? сосредоточена в точке 0, и I (0} = A cos ф).
Заметим, что в данном случае реализация случайной меры ? — счетно-аддитивная функция множества (по-другому — заряд); в общем случае это не так. Заметим еще, что здесь случайная мера Е; с некоррелированными значениями отнюдь не является мерой с независимыми значениями. Это — общая ситуация для всех вещественнозначных процессов: для них непременно ?-меры симметричных относительно 0 множеств — комплексно-сопряженные друг другу (?(—Л)=?(Л) с вероятностью 1).
Задача 1. Пусть — действительный стационарный процесс с математическим ожиданием т и спектральной плотностью f(X). Рассмотрим колебание частоты Л (неслучайной), модулированное по амплитуде при помощи т. е. г|< =
= cos (At -f ф), где Л = const, <р — независимая от ?( случайная величина, равномерно распределенная на [0, 2я).
Напишите спектральное представление для т)*; найдите соответствующую спектральную меру.
3. Рассмотрим применения спектральных представлений к исследованию стационарных процессов.
а) Линейные преобразования. Пусть линейный оператор А задается комбинацией линейных диффе-
93
ренциальных операторов с постоянными коэффициентами и интегральных операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов. Такие операторы инвариантны относительно сдвигов, и их применение к стационарным процессам приводит снова к стационарным процессам. Посмотрим, что получится при применении такого оператора к процессу, заданному спектральным представлением (1). Имеем
l't = \A.m.h~l(li+h — lt) =
/1 —> О
оо
= l.i.m. [ frl (eik{t+h) — еш) ? (dk) = h-> 0 J
— 00
00 00
