Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
тельной оценкой для К(т).
Указание. Для случайных величин ?(, ?2> Ъ, ?4, имеющих гауссовское совместное распределение со средним 0 и матрицей ковариаций (Ьц), смешанный четвертый момент М| =
= bl2b34 -(- 613624 ЬцЬ2з.
88
4. Условие неотрицательной определенности (см. задачу 1 § 1.3) в случае стационарных процессов превращается в
D CjCkK (tj — tk)> О /. k
(Cj — комплексные числа, tj— элементы Т).
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 1 (Герглотца). Для того чтобы последовательность К{п), —оо <; п < оо, была неотрицательно определенной (т. е. чтобы для любых комплексных Cj и целых tj выполнялось (8)), необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде
К{п)= ^ einX\i (dh),
(-я, я]
где ц — конечная мера на (—я, я] (в качестве а-алгебры берется а-алебра борелевских подмножеств (—я, я]). Мера ^ определяется однозначно.
Теорема 2 (Бохнера — Хинчина). Для того чтобы функция К{т), —оо <; т < оо, была непрерывной и неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде
оо
К (т) = ^ e‘TV {dK),
— оо
где ц — конечная мера на (—оо, оо). Мера ц определяется однозначно.
Доказательство этих теорем можно прочесть в § 39 учебника Г неденко (1988); теорему 1 полезно доказать самому, пользуясь элементарными сведениями из теории рядов Фурье и свойством относительной компактности ограниченного семейства мер на окружности.
Мера ц называется спектральной мерой. Вычисления п. 1 показывают, каким образом для любой конечной меры ц (неотрицательно определенной функции К) можно построить пример соответствующего случайного процесса.
Если мера ц абсолютно непрерывна относительно меры Лебега с плотностью f{k), то последнюю называют спектральной плотностью стационарного процесса (последовательности).
89
Спектральная мера имеет «физический смысл» распределения энергии случайного колебания по разным частотам, спектральная плотность — плотность распределения энергии по частотам.
Укажем, какие спектральные плотности соответствуют некоторым из рассмотренных ранее корреляционных функций: для К (т) = е (пример 8 § 1.2; задача 2 § 1.4) f(X) =
= я~'а/(а2 + X2); для последовательности некоррелированных величин с дисперсией а2 будет {(X) = а2/2л на всем отрезке от —я до л.
Решение задачи 21 § 2.1 говорит нам, что
(2л Г)
eil%dt
является асимптотически несмещенной оценкой для спектральной плотности {(X). Вычисления показывают, что дисперсия этой оценки, скажем, в случае гауссовского процесса не стремится к нулю при Т -*¦ оо, и оценка оказывается несостоятельной. Как в таком случае следует находить по опытным данным спектральную плотность? Этому вопросу посвящена обширная литература как чисто математического, так и прикладного, «инженерного» характера (см., например: Г. Дженкинс, Д. Ватте «Спектральный анализ и его приложения» (Вып. 1. М.: Мир, 1971); Э. Хеннан «Анализ временных рядов» (М.: Наука, 1964)). В нашей книге коснуться вопросов статистики случайных процессов мы не сможем.
Мы рассмотрели здесь спектральные представления корреляционных функций; это — переход к следующему параграфу, где речь идет о представлении самих случайных функций.
§ 4.2. Спектральные представления
1. В этом параграфе и в следующем мы будем рассматривать процессы на Т = R1 или Z1.
В § 3.2 мы уже говорили о важности установления изоморфных соответствий между пространствами Нт и достаточно простыми /^-пространствами. Это нужно уточнить: важными для исследования стационарных процессов оказываются такие изоморфизмы, при которых группе операторов сдвига 0Л на Нт соответствует достаточно простая группа операторов, а для задач линейного прогнозирования важно, чтобы также' пространствам H^t соответствовали достаточно простые подпространства ^-пространства.
На таких изоморфных соответствиях основываются спектральные представления стационарных процессов.
Теорема. Пусть корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса t ^ R1
90
(соответственно i^Z1), M^ = m, представляется в виде
оо
К(т)= 5 ?IT4l (dX)
— оо
( соответственно \ ]. Тогда существует случайная
\ (—л, л1 /
мера на борелевских подмножествах (—оо, оо)
(соответственно (—л, л]) с ортогональными значениями с М?(Л) = 0, М I ? (Л) |2 = ц (Л) такая, что
lt = m+^eitki(d\). (1)
Случайная мера ?(Л) определяется однозначно с точностью до эквивалентности.
Стохастический интеграл
\fmrn (2)
устанавливает взаимно однозначное изометрическое линейное соответствие между пространством L2(d\i) и пространством Н°т, определяемым как замыкание в L2(dP) множества всех линейных комбинаций ci(^, —"*)+••• ~тУ при этом eitk —
