Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами Р (-^¦') — ^ ak .
если его можно применить к стационарному процессу переводит его также в стационарный процесс
85
t\t = P ('Jt') h-Формулы (9) — (11) § 2.1 имеют в данном случае вид
Мъ = р (4г) ^ а°т (3)
('-»). W)
K,t(l-s) = P(-gf)Ku(l-s). (5)
Здесь Р — многочлен с комплексно-сопряженными
коэффициентами йи- Дифференцирование k раз функции K\%(t — s) по s сводится к k-wy дифференцированию функции К\\ по ее аргументу и умножению на (—1)*; с учетом этого формула (4) превращается в
Из формулы (5) получаем
КЧ <Т> = Р Ш *К <Т>- *S4 М “ Р (- 4г) KU
Если тем же путем находим
(чМ = рШ«И
Рассмотрим частные случаи.
а) Р(х) = х. Здесь /С^,(т) = —/С^(т), а совместная корреляционная функция ?, ?' есть
Если функция /С^ действительна (в частности, для действительного ?*), то К'^(0) = 0 как производная в нуле четной функции, и ?' некоррелирова-ны (частный случай — в задаче 16 § 2.1).
б) Для Р (х)= 1 + х-\- х2 будет Р (—х) = Р (~х) = = 1 — х + х2, Р(х) Р (—х) = 1 + х2 + х4, так что корреляционная функция процесса ?t + %'t + Щ получается из Кц(т) применением такого дифференциального оператора: К^{т) + К'^(г) + К1^ (т).
86
3. Интегрирование. Законы больших чисел. Статистика стационарных случайных процессов. Производная стационарного процесса, если она существует,— тоже стационарный процесс. Что касается интегрирования, то неопределенный интеграл от стационарного в широком смысле процесса (который существует, если только корреляционная функция непрерывна) вовсе не обязан быть стационарным процессом; более того, не всегда можно так подобрать «произвольную постоянную» — случайную величину, прибавив которую можно сделать из интеграла стационарный процесс.
Задача 1. Докажите, что если |;— непрерывный в среднем квадратическом стационарный процесс, /га = 0, то не су-
t
шествует случайной величины г) такой, что г) + J ds — стацио-
о
парный процесс.
Более общий вопрос: существует ли стационарный процесс, являющийся решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Р (jdf) (Если ответ на этот вопрос положи-
телен, а 0 — устойчивое решение для соответствующего однородного уравнения, то к г]/ неограниченно приближаются при увеличении t решения при всевозможных начальных условиях.) Решить эти задачи и найти характеристики соответствующих случайных процессов мы сможем в § 4.2.
Представляет интерес существование 1. i. m. Т~х X
Т -> ОО
т
X ^?>fdt (в случае непрерывного в среднем квадра-о
п
тическом стационарного процесса) или 1. i. m. n~l X
Д-> oo k—l
(в случае стационарной последовательности).
Задача 2. Докажите, что если корреляционная функция стремится к нулю на бесконечности, то
или
п2- 1
l.i.m. ----^---- V* %k = tn (7)
пг-n,-».oo «2 — П, L-! k W
k^tlx
(m — математическое ожидание).
В следующем параграфе мы докажем, что предел (6) (или (7)) всегда существует; только этот предел не всегда является константой — это какая-то интегрируемая в квадрате случайная величина. Например, для процесса ?i = A cos(t^ ср) предел (6) равен нулю при т|^0 и A cos ср при т] = 0.
Результаты типа закона больших чисел представляют собой основу решения ряда задач математической статистики, относящихся к случайным процессам. Если математическое ожидание т и корреляционная функция К(т) стационарного процесса нам неизвестны, но мы можем наблюдать процесс на отрезке от 0 до Т, то естественной оценкой для математического ожидания будет (в случае непрерывного времени)
т
тт = Г-1 ^ lt dt. о
Эта оценка — несмещенная, но не является, вообще говоря, наилучшей. Закон больших чисел для означает состоятельность этой оценки.
А как оценить по наблюдению |<, t е [0, Г], корреляционяую функцию /((т) или функцию Q (т) = М^т + 5|9? Несмещенной оценкой для Q(t) будет
0^ s < т 0<s + tsS Т
Состоятельность этой оценки сводится к закону больших чисел для процесса 1ls==is + T^.. Этот процесс для стационарного в широком смысле процесса 11 вовсе не обязан быть стационарным в широком смысле (если стационарен в узком смысле, то t]s также стационарен).
Задача 3*. Пусть —действительный гауссовский стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и непрерывной корреляционной функцией К(т), стремящейся к нулю на бесконечности. Найдите выражение для корреляционной функции процесса^ = |s. Выясните, является ли Qj- (т) состоя-
