Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5. Теперь перейдем к аналогам рассмотренных задач «в широком смысле» — к задачам наилучшей в среднем квадратическом линейной оценки.
Пусть л — интегрируемая в квадрате случайная величина, It, t^T, — интегрируемый в квадрате случайный процесс. Требуется найти случайную величину
|еГ, ДЛЯ КОТОрОЙ
М | л — г) |2 = min.
Решение задачи наилучшей линейной оценки есть
Л = пря л.
Т
т. е. такой вектор из Нт, что
М(л-лК = о для любого Это условие можно заменить на
Мт) = Мл, cov (л — Л. ?) = 0-
Способ вычисления fj—линейной оценки л — по
/еГ, полностью определяется математическими ожиданиями Мл, и ковариациями Ол. cov(л, h),
Knit, s), причем, так как эти данные проще, чем совместные распределения ^............цп, которые
нужно знать для нахождения наилучшей нелинейной оценки, задача наилучшей линейной оценки значительно ближе к эффективной разрешимости.
79
Ясно, что средний квадрат ошибки наилучшей линейной оценки не меньше, чем средний квадрат ошибки наилучшей оценки (ц ближе к большему пространству Lt, чем к меньшему Нт).
Можно рассматривать задачи наилучшей линейной фильтрации, линейной экстраполяции (прогнозирования)|, интерполяции. Например, задача наилучшего линейного прогнозирования есть задача нахождения проекции на пространство H<to. Для решения таких задач в случае стационарных процессов развита мощная теория (см. Дуб, 1956, гл. XII; Розанов, 1963, гл. II, III); с частью этой теории мы ознакомимся в § 4.3.
6. В связи с задачами наилучшей линейной оценки мы рассматривали пространства Нт, и т. п.;
однако оказывается, что здесь можно обойтись пространствами Н°т и т. п., получаемыми как замыкания множеств линейных комбинаций значений случайного процесса без свободного члена. Пусть ц — случайная величина, (eF, — случайный процесс Mlrip
M\h? < оо. По предположению, нам известны все моменты первого и второго порядка, в частности, щ — = Mti, mt = М?г Положим ¦п° = ц — т, = — ти
Математические ожидания т]°, Щ равны нулю, а ковариации остаются прежними. Пространство
— замыкание множества линейных комбина-
v'e'
ций значений /еГ, —обозначим для краткости НМы уже говорили, что математическое ожидание Л—наилучшей линейной оценки ц — равно Мт], т. е. т. Легко проверить, что
т) = т + пр „оо т]0.
т
Иначе говоря, задачу можно решить, оставаясь в пределах пространства случайных величин с нулевым математическим ожиданием, а потом только прибавить математическое ожидание.
7. Введем понятия линейной регулярности и сингулярности. Пусть — интегрируемый в квадрате случайный процесс на неограниченном снизу множестве Т; случайная величина ц^Нт. Обозначим через x\<t наилучшую линейную оценку этой величины по ?s,
80
fj<< = пря<< Л- Случайный процесс называется линейно регулярным слева, если для любого т] из Нт lim М [ г) — Л<<|2 = Dr);
t-> - оо 1 1
он называется линейно сингулярным слева, если этот предел равен нулю, т. е. средний квадрат ошибки тождественно равен нулю.
Аналогично вводятся понятия линейной регулярности справа и линейной сингулярности справа.
Легко понять, что из регулярности процесса вытекает линейная регулярность (раз его нельзя сколько-нибудь точно прогнозировать никак, то нельзя и линейно), а из линейной сингулярности — просто сингулярность (линейный прогноз сколь угодно точен).
8. Посмотрим, какими свойствами обладает задача линейного прогнозирования для стационарных в широком смысле процессов (тот же вопрос можно поставить для нелинейного прогнозирования и стационарных в узком смысле процессов, но мы собираемся конкретно рассматривать только задачу линейного прогноза).
Пусть — процесс, стационарный в широком смысле, на 7 = ^1==(—сю, сю) или на 7 = 2’ = = {...,—2, —1, 0, 1, ...}. Так как оператор сдвига 0/, переводит в 1/о+А, а пространство H<t в H<t+h, то, как легко проверить, для любого т) е Нт
в частности, для любого t0> t (^t„+h)^i+h ==
(hUt=(Ао-/)<о-
(Разумеется, все эти равенства должны выполняться почти наверное.) Далее, средний квадрат ошибки прогноза
зависит только от to—1\ обозначим его a2 (to — t). Функция
естественно, равна нулю при t ^ 0, не убывает при положительных t\ она стремится к cr2=D^ при t-*--»--|-оо для линейно регулярного слева процесса и к нулю для линейно сингулярного.
Задача 2. Докажите, что в случае непрерывного в среднем квадратическом стационарного процесса |(, / е R', функция o2(t) непрерывна.
Для линейной сингулярности достаточно, чтобы a2(s)=0 хотя бы при одном s > 0; действительно, в этом случае процесс можно со сколь угодно большой точностью продолжить со значений t t0 до t0 + + s, затем до to + 2s, и так можно добраться до любого ti > t0 (на языке гильбертовых пространств: = Hfito + S — H^ta + 2S = • • • 3 //< t,).
