Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
всевозможные Т0= с Т и выбираем из всех
fjy. = М | if , . . ТО, ДЛЯ КОТОРОГО М | Т) — Г|7.|г = Ш1П.
76
(В принципе это требует лишь знания всех распределений g j и сравнения несчетного множества вариантов.)
1 П
Принципиальная разрешимость задачи нахождения наилучшей оценки не означает, что существуют эффективные способы ее решения. Задача все же решается в некоторых классах случаев, но решение ее подчас весьма сложно.
3. Рассмотрим различные частные случаи задачи наилучшей оценки.
Задача фильтрации. Нас интересуют значения случайного процесса г|<, а наблюдаем мы случайный процесс ?<, который получается из г)/ действием какой-то помехи. Простейший случай: ?* = где
случайный процесс ?* («шум»), скажем, не зависит от л*. Посложнее: lt = f(t, ?/, ti<) или It — решение дифференциального уравнения = т]' + / (\t, ?<) с начальным условием ?о=т|о и т. п. Требуется оценить какое-то значение ti, по наблюдению всех h,
¦ НО °
t^T («отфильтровать помеху»).
Задача экстраполяции (прогнозирования). Пусть ?* — случайный процесс, причем нас интересует его значение в момент /ь а наблюдаем мы процесс лишь до какого-то момента to < t\. Здесь в качестве наблюдаемого It, t е 7, берется It, t ^ t0, а величина т), подлежащая оценке, есть ^ (говоря языком евклидовых пространств, требуется спроектировать на
потакая постановка задачи отражает черты, характерные для многих практических ситуаций: нашему наблюдению может быть доступно только настоящее и прошлое, и нас часто интересует вопрос предсказания будущего (прогнозирования). Другая точка зрения на ту же задачу — как на чисто математическую: речь идет об экстраполяции — продолжении функции за пределы отрезка t ^ ^0, на котором она известна (о приближенном продолжении, в определенном смысле наиболее точном).
С математической точки зрения совершенно такой же является задача экстраполяции процесса, наблюдаемого при t ^ t0, до значения t\ < t0.
В задачах прогнозирования для случайных процессов речь может идти об оценке по §/, t ^ to, случайных величин т), отличных от значений , например: = т] =/(I*,. или> вообШе, т| —
77
произвольный элемент К таким задачам название задачи экстраполяции, пожалуй, уже не подходит.
В задачах интерполяции случайных процессов речь идет об оценке значения %t , где t0 лежит между теми значениями t, для которых ^ доступны наблюдению. Так, мы можем наблюдать ?* при t tx и при t ^ t2, где t\ < t0 < t2, или наблюдаемыми могут быть Ikh, k = 0, ±1, ±2, ..., to ф kh.
Можно рассматривать очень много различных (причем осмысленных с точки зрения практики) разновидностей задачи оценки. Например, речь может идти об оценке значения в точке t0 случайного поля (t пробегает, скажем, какую-то область Т на плоскости) по наблюдениям в какой-то части области Т, не содержащей t0, или об объединении задач прогнозирования и фильтрации и т. п.
4. Задача наилучшего прогнозирования имеет большое значение для теории случайных процессов.
Пусть \t, t^T^R\ — случайный процесс, причем множество Т неограничено снизу. Для случайной величины це12г обозначим через г) ( ее наилучшую оценку по Is, s ^t:
f|<< = M(r1|^-<;) = np 2 Т].
Так как при t^t', то средний квадрат
ошибки предсказания М | rj — т)<;|2— невозрастающая функция от t. Все ее значения заключены между нулем и дисперсией rj; поэтому существует предел
lim Ml л — г) I2, (6)
f->-оо 1 ^ 1
причем он лежит между нулем и Drj.
Случайный процесс \t называется регулярным слева, если для любой величины r\<= L% предел (6) равен Dti (т. е. при значениях t, далеких влево по оси времени, невозможен прогноз более точный, чем указание Мл). Случайный процесс называется сингулярным слева, если этот предел равен нулю. Это означает, что для любой г\^Ь2т просто М | л — 'П<< j2 =
— О при любом t, т. е. г) = fj<t почти наверное. Иначе говоря, при любом t любая случайная величина rj из Lt принадлежит также и L^t (точнее,
78
в любом классе эквивалентных друг другу случайных величин, принадлежащем найдется случайная величина, принадлежащая ?<<), или, окончательно,
г 2 __ г 2
--L.T •
Таким образом, регулярным признается положение, когда с течением времени случайность полностью обесценивает всю информацию о далеком прошлом (s^;/, /->-----оо); возможность
совершенно точного прогнозирования связана с какой-то особенностью, вырожденностью процесса.
Разумеется, могут быть процессы не регулярные и не сингулярные, а находящиеся между этими двумя крайностями.
Аналогично, если Т неограничено сверху, вводятся понятия регулярности справа: Ь% + ао состоит только из констант, и сингулярности справа: L% + X=L% t=Lr.
Регулярность или сингулярность процесса однозначно определяется его конечномерными распределениями (см. п. 2).
