Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эмпирическая функция
распределения 22
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
По сравнению с первым изданием были внесены следующие основные изменения.
Первое. Так как при обычном доказательстве теоремы Колмогорова о конечномерных распределениях фактически повторяется одно из доказательств компактности гильбертова кирпича, автор дал доказательство, явно опирающееся на эту компактность (§ 5.1). Окончательная формулировка теоремы дается в терминах борелевских измеримых пространств.
Второе: в книгу включены элементы теории, связанной со слабой сходимостью распределений в функциональных пространствах (§ 5.4, подготовительный материал § 5.2). В первом издании эта проблема всего лишь упоминалась.
Третье: при рассмотрении стохастических интегралов за основу берутся интегралы не относительно процессов с некоррелированными приращениями, а относительно случайных мер с некоррелированными значениями (§ 2.2). Вообще, больше внимания уделяется стохастическим мерам, в частности, рассматривается пуассоновская мера (§ 1.2). Построение стохастического интеграла от случайных функций (§ 12.1) дается тоже на основании стохастических интегралов относительно случайных мер, как это было показано в статье Ж. Пелломеля (J. Pellaumail «Sur Гintegrale stochastique et la decomposition de Doob — Meyer, Asterisque» (Vol. 19. Publication de la Societe Mathematique de France, 1973)) и в ряде других; в педагогической практике — в ротапринтных лекциях Н. В. Крылова «Введение в теорию случайных процессов» (Ч. 1. — М.: Изд-во МГУ, 1986). Рассмотрение стохастических интегралов относительно
5
случайных мер облегчает применение этого аппарата за пределами материала,затронутого в книге.
Далее, более широко изложен аппарат, используемый для учета зависимости в теории случайных функций: свойства независимости случайных функций от будущего, включая предсказуемость (§ 6.2), и аппарат компенсаторов, используемый при применении мартингалов (§ 7.2).
Наконец, упорядочено изложение теории марковских процессов (вместо первых трех параграфов гл. 8 первого издания написаны два новых).
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Книга написана на основе лекций по теории случайных процессов, прочитанных автором в 1969 г. студентам III—IV курсов механико-математического факультета МГУ. Эти лекции были изданы ротапринт-но (А. Д. Вентцель, Случайные процессы (Лекции для студентов III курса), М., 1969; Случайные процессы (Лекции для студентов IV курса), М., 1970)), затем значительно переработаны.
Интерес к изучению теории случайных процессов очень широк, и, по-видимому, нет необходимости указывать здесь, какая это важная часть теории вероятностей и как много она имеет приложений.
Автор видел свою цель не в том, чтобы формулировать и доказывать теоремы в наиболее окончательной форме, а в том, чтобы ознакомить читателей с сущностью применяемых методов на простом по возможности материале. В связи с этим книга содержит не очень много больших теорем и довольно большое число микротеорем (часть из них в виде задач). Хотя между микротеоремами и теоремами нет совершенно резкой грани, автор считает понятие микротеоремы принципиально важным. Тот, кто овладевает каким-либо разделом математики, должен придумывать такие микротеоремы в большом числе; из них 60 % должны легко доказываться, 30 % — оказываться неверными и легко опровергаться, а в остальных 10 % разобраться труднее — из них могут получиться даже настоящие хорошие теоремы.
Часть материала дана в виде задач. Решения задач составляют отдельную часть книги, чтобы боль-
6
ше была вероятность того, что читатель будет решать их сам. Решения даются не для всех задач и не очень подробно; предполагается, что читатель напишет их решения с нужной степенью подробности сам для себя (а также восстановит опущенные части доказательств в основном тексте и сделает недостающие чертежи). Задачи, данные обычным шрифтом, нужно решать сразу же; с задачами, набранными петитом, можно подождать до конца параграфа или главы. Задачи, при номерах которых стоит звездочка, — не обязательные, на них ничто не опирается. Конечно, за пределами книги неизбежно должны были остаться целые разделы теории. Хорошо будет, если читатель постарается пополнить свои знания по теории случайных процессов и возьмется за изучение какой-нибудь книги, более богатой материалом, например книги Дуба (1956). Дело не только в новом материале, но и в общем подходе, методах, новых точках зрения.
Вопросы принадлежности приводимых результатов тем или иным авторам, истории и литературы по предмету затрагивались лишь эпизодически; литературные ссылки даются в основном тогда, когда приводятся без доказательства какие-либо вспомогательные сведения.
Отбор материала обусловлен в основном педагогическими соображениями. Что касается общего подхода к материалу, — систематически подчеркивается связь теории с фактами функционального анализа. Когда был выбор: провести какое-либо рассуждение, касающееся случайных процессов, независимым образом или сослаться на тот или иной аналитический результат (например, изоморфность всех бесконечномерных гильбертовых пространств),— предпочтение отдавалось последнему.
