Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5. Для стационарных в широком смысле процессов мы не можем, вообще говоря, определить операторы 0н на пространстве Ьт, но можем определить их на Нт. Для случайных величин т] вида т1 = с0 + с1^ +
+ • • ¦ + полагаем 0лл = с0 + с&(+А+ ... + св?,п+а-
Это — изометричный оператор, и он продолжается по непрерывности, оставаясь изометричным, на все Нт. Операторы 0/71, действующие на события, не удается определить, хотя бы потому, что случайная величина %а может не принадлежать Нт.
§ 3.3. Задачи наилучшей оценки
1. К числу теоретико-вероятностных задач, наиболее тесно связанных с приложениями, относятся задачи оценки каких-либо неизвестных величин по наблюдениям случайных объектов.
Пусть на вероятностном пространстве (Q, Р) заданы случайная величина т] и случайный процесс ?f, t е Т. Требуется найти для г| наилучшую в среднем квадратическом оценку по наблюдению случайного процесса, т. е. оценку т), которую можно вычислить по gf, t^T, и для которой
М [ л — f| р = min.
Уточним постановку задачи. Пусть случайная величина г| интегрируема в квадрате. Задача состоит в
том, чтобы найти такую случайную величину f) из
2 2
пространства Lt — L\ t^r, порожденного наблюдаемым случайным процессом, что для любой другой величины fjeLr
М [ л — Л I2 < М I л — rj I2-
Оказывается, эта задача всегда разрешима. Мы можем установить это двумя различными способами. Во-первых, мы знаем, что в полном евклидовом пространстве существует ортогональная проекция любого вектора на любое замкнутое подпространство и эта
74
проекция есть ближайший к исходному вектору элемент подпространства. Это означает, что решение нашей задачи имеет вид
Л = nPz.2 Л- (1)
Иначе говоря, f| — такой вектор из Lt, что для любого ? е Lt
(Л ~ ?) = 0,
или, записывая это через математическое ожидание,
М(т] —т))? = 0. (2)
Здесь ? пробегает все элементы Lt- Но при этом комплексно-сопряженная к ? случайная величина \ также пробегает всё Lt, так что условие (2) можно заменить на
M(ri-riK = 0, (3)
С другой стороны, искомое f) представляется в виде условного математического ожидания
fj = М (т) | Тт). (4)
Вероятно, это хорошо известно читателям, но приведем доказательство. Пусть т] — проекция т] на Lr\ докажем, что выполняется (4). То, что т) измеримо относительно {Гт, очевидно; остается проверить, что M%At] = Мхл"П для любого события А е $FT- Но это вытекает из (3) с ? = %а-
2. Нахождение оценки f) состоит из двух этапов: во-первых, мы должны найти способ вычисления г) по t^T, и, во-вторых, применить этот способ к наблюденным значениям процесса. В какой форме может быть представлено решение первой части задачи? Вспомним, что (согласно задаче 1 § 3.1) любой элемент L% представляется в виде предела в среднем случайных величин вида f . . ., ), tv . . ., tn^T.
Таким образом, способ вычисления f) можно задавать последовательностью натуральных чисел ti(k), последовательностью измеримых функций от n(k) переменных и последовательностью наборов t\(k), ...
75
tn(k)(k) элементов Т. При этом
...wo-
(5)
Способ вычисления fj по |f, t е?1, мы можем в принципе найти, если нам известны совместные распределения 5 ^ случайной величины т] и
любого числа значений случайного процесса. Рассмотрим для простоты случай, когда множество Т конечно или счетно.
Если Т = {t 1, ..., /„}, то
Л = М(л|1<1, ¦•¦>hn)==f(hl>
Функцию f можно найти следующим образом. Рассмотрим пространство L2^d[i^ ^ ^ ^ функций
Ф(у, хи ...,х„), измеримых и интегрируемых в квадрате относительно совместного распределения т], 1, , . Функция f[x{, ...,хп) есть проекция в
этом пространстве функции, тождественно равной у, на замкнутое подпространство функций, зависящих только от последних п координат.
В случае бесконечного счетного Т = {^, ...
..., tn, ...} воспользуемся следующей леммой:
Задача 1.//i ? #2 ?• • • ...— неубываю-
щая последовательность замкнутых подпространств полного евклидова пространства Н\ Ноо — замыкание
оо
линейного пространства U Нп> Л — произвольный
П = 1
вектор из Н. Тогда при п—> оо
пр„ Л-»пр„ ц.
tl оо
В применении к — Hn = L^tt...............tn} это
означает, что т] == I. i. m. г\п, где цп = М Ы I , ¦ • •
П + оо V I 1
¦" ’ ^J=^ (Ч’ •" ’ ^У (в гл‘7 мы увидим> что
также сходится к f| почти наверное.)
Для несчетного Т, в случае стохастической непрерывности можно (в силу задачи 2 § 3.1) обойтись всюду плотным подмножеством {/,, cz Т; в противном случае берем