Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
С вопросом о правильной постановке задачи Дирихле в случае наличия сингулярных точек связан результат следующей задачи.
Задача 3. Обозначим через S множество сингулярных точек границы D. Докажите, что Рх {Sit е S} = О для любого xeD.
Рис. 36
3. Мы увидели теперь важность понятия регулярности граничных точек. Рассмотрим некоторые примеры, связанные с этим понятием.
Критерий Пуанка-р е: для многомерного винеровского процесса, если точки х0 е dD можно коснуться снаружи области маленьким конусом К (рис. 36), то эта точка регулярна.
Доказате л ь с т в о. Предположим, что точка х0 сингулярна; тогда с Р*„-вероятностью 1 момент первого достижения винеровской траекторией внутренности конуса К положителен (потому что хк^х). Построим так много конусов К\, ..., Кп, конгруэнтных К, с вершиной х0, чтобы они закрыли целую
окрестность точки хо. Из инвариантности винеровского
процесса относительно вращений следует, что
РЛ > 0j = 1; иначе говоря, с вероятностью 1 процесс в течение положительного времени не достигает ни одной из точек внутри какого-либо из конусов, т. е. остается в точке Хо- Но этого не может быть, хотя бы потому, что Р*„ {wt = хо} — 0 для любого t > 0.
Более тонкие критерии и примеры см. Ито и Маккин (1968, гл. 7).
340
Задача 4. Найдите регулярные и сингулярные точки границы квадрата {(х, у): |х|, \у\ ^ 1} относительно диффузии
т)* = т)0 + ^ wsdsИначе говоря: на какой части границы
этого квадрата нужно задавать граничные условия для уравне-
1 д^и , ди
2 дх<
- + *
ду
= 0?
О. А. Олейник (О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа//Мат. сб.— 1949. — Т. 24.— С. 3—14) доказала, что регулярные (сингулярные) точки будут одни и те же для операторов
L = lya4-^ + yb‘-d-
2 ?_/ fix1 дх1 ?-1 dx1
‘¦'-п.*
дх1 дх'
д2 дх‘ дх'
I*"
дх1
д
дх1
(матрица (а‘‘) предполагается невырожденной). Этот результат можно получить, воспользовавшись теорией случайных процессов. А именно, мы уже говорили (§ 12.5), что распределения соответствующих случайных процессов lt, Vt в ({Rr)[0’ ri, ($r)10' ri) абсолютно непрерывны относительно друг друга; значит, из событий, определяемых по конечному промежутку времени, для них одни и те же имеют вероятность 0.
В частности, это относится и к событиям {т = 0},
{т > 0}.
Локальный закон повторного логарифма (задача 9*
§ 7.3)—утверждение о регулярности или сингулярности точки (0, 0) для определенных областей относительно диффузии (w.t, г]/ = т)0 + /) (рис. 37). Результат теоремы 3 переносится и на этот процесс, что дает возможность перевести закон повторного логарифма на язык дифференциальных уравнений: для любой непрерывной функции <р на границе области
D = {(*, у): 0< у у0, | х |< (1 — е) л/2у In | In у | },
1 д2и . ди
е > 0, существует решение уравнения ^ ^х2 > ^ D, принимающее на dD граничные значения <р;
0 внутри
341
для области
D = {(x, у): 0<у<у0, |*J <(1 + е) V2</ In | In у\ }
существует непрерывная функция <р на dD такая, что решения задачи: — = 0 внутри D, и = <р на dD не существует.
Результат статьи И. Г. Петровского (Zur ersten Randwert-aufgabe der Warmeleitungsgleichung//Comp. Mach.— 1935.— Bd. 1. — S. 383—419), касающийся необходимых и достаточных условий существования непрерывного решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в областях вида, изображенного на рис. 37, оказывается в то же время решением теоретико-вероятностной задачи: пусть Wt — одномерный винеровский процесс, выходящий из нуля; для каких функций /(/) с вероятностью 1 \wt\ ^ f(t) при достаточно малых /?
Читателю, который хочет узнать больше о связи диффузий с уравнениями в1 частных производных и теорией потенциала, полезно прочесть гл. 7—8 книги Ито и Маккина (1968).
Задача 5*. Постарайтесь понять, каков теоретико-вероятностный смысл неравенства Харнака: для любой открытой области D и любых ее deyx точек х, у существует константа С такая, что для любой неотрицательной гармонической в D функции и(х\ выполняется неравенство С~'и(х) и (у) si Си(х),
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
§ 1.2
1. Нужно доказать, что для любого множества С е $1п и любых действительных h, t\.........tn