Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Если х0 — регулярная точка границы, то для любого h > 0 вероятность Рх {х < h] -> 1 при х-*х0.
Доказательство. Выберем е>0 и докажем, что существует б > 0 такое, что Р* {т < h] > 1 — е при р(х, *0) < 6.
Пусть г1; г2> •¦•> гпу ¦¦¦—рациональные точки интервала (0, h). Из Р*0 {т < h) = 1 вытекает,
Регулярная точка
Рис. 34
336
что
W.*c}u - и^„*°})=1-
Выберем п так, чтобы эта вероятность была больше 1—е/3 или, если перейти к противоположному событию,
РхЛ1г^°,...ЛГп^о]<ф.
Перепишем вероятность в виде математического ожидания
М*0Хо(Ц) ••• ^(ЧЗ-
Существует неотрицательная непрерывная функция f(x), равная 1 на D и такая, что Мх /(Ц) ¦ • • f Q>r ) <
< 2е/3. Действительно, в качестве такой функции можно взять
/ (х) = U (х) = ехр {— Wp (х, D)} с достаточно большим N, так как
Jim М,/„(Ц) КП(Ч>
Далее, из феллеровости марковского семейства вытекает, что функция F {х) = Мх/ Q,r ) ¦ • • f Q>r 'j непрерывна; следовательно, существует 6 > 0 такое, что Мxf ^J / (lr J < е при р (х, х0) < 6. Отсюда
РХ{1Г trn^D}<e
и
Рх {т < h) > 1 — е.
Теорема 2. Пусть (?<, Рх) — феллеровская диффузия,; D — замкнутое множество, х — момент выхода из D\ и (х) = Мхф (?т), где ф — функция, заданная на границе. Если х0 — регулярная точка границы D, то для любой ограниченной непрерывной функции ф имеем: и(дс)—*-ф(хо) при х->-Хо, xgD (и, само собой, и (хо) = ф (*о)) -
Доказательство. Пусть б — произвольное положительное число. Выберем е > О так, чтобы при
12 А. Д. Вентцель 337
р(д:, jt0) < е было 1 ф (jc) — ф(*о)|<6/3. Имеем | и (*) — ф (*0) | = | Мх [ф (У — ф (*„)] К
< <ч | Ф (6,) - Ф Ы I + 2IIФIIРЛ* > А}. (1)
Первое математическое ожидание разобьем на две части: по событию
Ah = {lt<^Ue(x0) для всех /<Л}
и по его дополнению.
Задача 2. Докажите, что Рх {Ah) —> 1 при h\ О равномерно по x<^Uei2(xo).
Выберем h так, чтобы Р*(А,)>1—6/61|фj| для х е f/e/2(x0); тогда
Мд{т<А} [1 - ХлА] IФ (I.) - ф Ы | < т -МлХ{т<А}Хл J Ф (У - Ф (*„) I <
<Бир{|ф(г/)~ ф (jcq) |: у €?ие(х)}<-^-.
Последнее слагаемое в (1) стремится к нулю при х—ух0 .в силу теоремы 1; получаем, что
| и (х) ф (.v0) | < б
в достаточно малой окрестности точки ха.
Напротив, когда х0 —сингулярная точка (например, (0, 0) для области задачи 1), можно указать ограниченную непрерывную функцию ф на dD, для которой и(х) будет разрывно в точке Хо и даже и(х0) ф ф(*о). Достаточно положить ф(х) = = ехр{—р(х, Хо)}.
2. Теорема 3. Пусть (lt, Р*)— феллеровская диффузия с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами сноса и дважды непрерывно дифференцируемыми коэффициентами диффузии, образующими в каждой точке невырожденную матрицу, D — произвольное замкнутое множество-, ф — ограниченная бо-релевская функция, заданная на dD. Тогда функция и (я) = Млф (У дважды непрерывно дифференцируема во всех внутренних точках D, и Lu = 0.
Доказательство. Гладкость коэффициентов обеспечивает существование функции Грина для всех ограниченных областей с гладкой границей (Миранда, 1957, гл. III, § 21, теорема 21.VI). Произ-
338
вольную внутреннюю точку окружим ограниченной замкнутой областью DicD с гладкой границей дйй обозначим через Ti момент первого выхода процесса из D1 (рис. 35).Воспользуемся строго марковским свойством относительно марковского момента т! (учитываем, что т,^т, 0г1т = т — ть 0Т1|Т = I*):
и(х) = Мхф (|т) = МДф (|т) = МхМ5тФ (|т) = Мхи (Ц). Но
М*“(У= y)u(y)de»>
dD,
где G\{x,y) — функция Грина области D\ (см. предыдущий параграф, п. 4). Такой интеграл является непрерывной функцией от х внутри D\ для любой ограниченной измеримой функции и (у) на dD\.
Внутри D\ выберем область D2 с гладкой границей; имеем точно так же
^ y)u(y)dcry
дЫ У
(2)
Функция и на dD2 непрерывна; согласно теоремам 21.1,
21. IV книги Миранда (1957) решение уравнения Lu — 0 вну- Рис. 35
три Д> с непрерывными граничными условиями и (у) на D2 существует и задается формулой (2). Но это означает, что функция и дважды непрерывно дифференцируема внутри D2yl Lu = 0.
Теоремы 2 и 3 дают следующее. Пусть (?ь Рх) — феллеровская диффузия с гладкими коэффициентами, причем матрица диффузии невырождена. Тогда для любой замкнутой области D и любой непрерывной ограниченной функции ф на dD существует функция
и(х) (=Мхф(У),
определенная на D, являющаяся решением уравнения Lu = 0 во внутренних точках D, и ы(л:)^-ф(л'о) при х-»-хо, хеО, для всех регулярных точек хо границы/).
12*
339
Если решение задачи «Lu = 0 внутри D, и(*)-> ф(*о) при x-t-xo для всех регулярных точек ха границы Zb единственно, это значит, что мы нашли, как следует ставить задачу Дирихле для областей с плохими границами: в регулярных точках требовать определенных пределов, а в сингулярных ничего не требовать. Однако, вообще говоря, единственности здесь нет (пример— задача 13* § 13.2; можно построить пример и для ограниченной области, но с сингулярной точкой на границе). Для единственности нужно еще требовать по крайней мере ограниченности и. Не будем обсуждать этого вопроса здесь; отошлем читателя к книге Ито и Маккина (1968, § 7.12), где рассматривается случай многомерного винеровского процесса и открытой области.
