Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
t т
-\-\g(ls)ds. Чтобы найти распределение \g(ls)ds,
нужно рассматривать математическое ожидание вида
M*exp c(gs)ds [¦ и т. п. Для них доказывается
у) + ^~-(х, y)= — g{x, у), {*,y)<^D, (8)
v (fi (У), У) = (ft (у), /=1,2;
v(x, Т) = ср(х),
О)
(10)
v (х, у) = Мх у $ ? (ws, 4S) ds + )С{Пг=Г}Ф (wx) +
-0
-0
+ X{nt<:Г. Wx-b, (пх)}ф1 Ю + *{nTcr. wt-f3 (лт)}'
;Ф2 (“Пт)]
О
о
333
Микротеорема 5. Пусть (?*, Рх)— диффузия в Rr с производящим оператором L\ с(х)— непрерывная действительная функция на Rr. Пусть w(x)— дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в открытом множестве, причем в компакте D она является решением задачи Дирихле
Lw(x)-\-c(x)w(x) = — g(x), xefl; (11)
w (*) = ф (х), x^dD. (12)
Пусть
Тогда
jj ехр | 2 jj с (У ds j < оо .
w (х) = Мх ?ехр | jj с (У ds | Ф (?t) +
+ jj ехр | jj с (У rfsjg(g,)d/J, xefl. (13)
Доказательство проведем для диффузии, задаваемой стохастическим уравнением dZ,t=o(Z,t)dwt-\-+ b (h)dt. Положим
i)t = w (lt) ехр | J с (У ds | —
~ Sехр | (с ^du | ^Lw ^+с ^w ^ ds~
Применим формулу Ито:
"Л /•} mi
I
dr]t = ехр | J с (is) ds 11 ? (?,) a) (?,) dw[
t)]d/}•
tj
+ Lw (It) dt + w (It) с (lt) dt — [Lw (It) + с (lt) w (
Члены с dt сокращаются. Отсюда получаем
Ч, = Ч„+5 "-Р j S'(5,)',s| X
ХЕ'ЙЧУ-’КУ'Ч
334
и дх‘
(используем конечность М,J ехр | 2 ^ e(|s) ds
Берем М* от обеих частей, получаем W (х) = М*Т]0 = МхЛт. откуда вытекает (13).
Условие конечности М* \ ехр { 2\с (| s) ds f dt выполне
0
но, во всяком случае, когда c(x) ^ 0 и М*т < оо. Оно также выполняется для с(х) с0, где с0 — достаточно малая положительная константа, если выполнены условия задачи 1 (потому что распределение т мажорируется показательным).
Это хорошо согласуется со следующим результатом из теории дифференциальных уравнений (Миранда, 1957, теоремы 21.1, 21.11, 21. Ill, 36.11): для фиксированных непрерывно дифференцируемых а‘>(х), Ь‘(х) и области D с гладкой границей можно указать положительную константу с0 такую, что решение задачи Дирихле (11) — (12) существует для всех непрерывно дифференцируемых с(х) ^ с0. Константа с0 может быть выбрана сколь угодно большой, если выбрать область D с достаточно малой мерой Лебега.
Задача 16. Найдите преобразование Лапласа распределения момента т выхода одномерного винеровского процесса из полупрямой D = [0, оо), т. е. год, (х) = \Ахе~Хх, Я > 0.
Задача 17*. Докажите, что если М*т ^ К < °° в Д то М*ест ^ 1 + сМхт/(1 — сК) при 0 ^ с < К~1.
К выводу микротеоремы 5 можно было бы применить теорему п. 4 § 10.3 и результаты, касающиеся мартингалов.
Задача 18*. Сохраняется ли результат микротеоремы 5,
если условие М* \ ехр i 2 ^ с (I,) ds dt < оо заменить условием т
М* ^ ес°* dt < оо, с0^3= с (х)?
о
§ 13.3. Регулярные и сингулярные точки границы
1. В этом параграфе мы будем говорить для простоты о задаче Дирихле для однородного уравнения Lu = 0.
В случае невырожденных диффузий и областей с гладкой границей и (х) = М*ср (?т) непрерывно во всей замкнутой области D. Оказывается, для областей с негладкой границей точки dD делятся, вообще
335
говоря, на два класса: регулярные точки, при приближении к которым функция и приближается к ср(*), и сингулярные, для которых это не так. Определение регулярности можно дать и на языке дифференциальных уравнений, и на языке случайных процессов. Возьмем за основу вероятностное определение.
Пусть (lt, Рх) — феллеровское марковское семейство с непрерывными справа траекториями, D — замкнутое множество, х—момент выхода из него. Точка х0 е dD называется регулярной точкой границы D, если РХо{т = 0} = 1. Точка xo^dD называется сингулярной, если эта вероятность равна нулю. Иначе говоря, сингулярная точка — это такая, что траектория ?/, начинающаяся в ней, непременно хотя бы маленький промежуток времени проведет в D (рис. 34). Согласно блюменталевскому закону 0—1 (§ 9.2, п. 4), Р*0{т = 0} не может быть строго между 0 и 1.
Примером регулярной точки может служить любая точка гладкой границы в случае невырожденной диффузии: из результатов п. 2 предыдущего параграфа вытекает, что МХ(т = 0 для х0 е dD.
Пример сингулярной точки:
Задача 1. Пусть D — единичный круг {(х, у): х2 + у2 ^
1}, из которого выброшены кружочки {(х, у): (х — 1/2л)2+ + у2 (1/2”3)2}, п = 2, 3, 4, ... Докажите, что (0, 0) — сингулярная точка границы D (для двумерного винеровского процесса).
Для процесса (wt, т|; = т|о + ^), соответствующего уравнению теплопроводности, и криволинейного четырехугольника D (рис. 33, § 13.2) точки верхнего основания регулярны (тривиальным образом); точки боковых сторон тоже регулярны (это вытекает из закона повторного логарифма — см. задачу 9* § 7.3); точки нижнего основания, кроме уголков, сингулярны (ясно).
