Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 121

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 146 >> Следующая


меры на dD, равную ^ (х, у) (х— точка, из которой начи-

О Ну

нается процесс, у — точка, в которой берется плотность).

Задача 11*. Пусть Wt — двумерный винеровский процесс; D = {(х1, х2): х2 Зг 0}. Докажите, что распределение значения w\ первой координаты в момент выхода из D задается плотностью РХ1Х2 (у) = л~'х2/((х2)2 + (у — х1)2) ((*', х2) — точка, из которой начинается процесс).

5. Для замкнутой области с гладкой границей момент т вы-

хода из области совпадает с моментом первого достижения границы (он же — момент первого выхода из внутренности замкнутой области). Действительно, — марковский момент (задача 3 §6.1). Продолжим решение т(х) задачи Lm =

= —1, т \dD = 0 на дополнение D и применим формулу (7) к функции ш и марковскому моменту т^. Получим т (х) = Мхт^. В то же время т (х) = МЛт, т. е. Мх (т — та) = 0. Но хд ^ т для всех со, поэтому почти наверное = т.

6. Аналоги задач 3, 7 § 13.1.

Задача 12. Пусть (?*, Р*) — произвольная феллеровская диффузия, D — произвольное замкнутое множество. Если и — дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в некотором открытом множестве, содержащем D, неотрицательная в D, Lu = 0 в D, и(х) = ср(*) на dD, то М*ф (?т) «ju (х) (если т = оо, вместо Ф (It) берем 0). Если v — дважды непрерывно дифференцируемое в открытом множестве, содержащем D, и неотрицательное в D решение уравнения Lv = —g в D, g ^ 0, т

то M* ^ g(ls) ds^v(x). о

Задача 13*. Пусть Z) = {(х1, х2): х2 ^ 0}. Найдите наименьшее неотрицательное решение задачи Ди = 0 в D, и(х1, 0) = = 1/(1 + (х1)2) на dD. Укажите бесконечное число других неотрицательных решений.

7. Раз речь уже зашла о неограниченных областях, читателю предлагается решить необязательную задачу.

Задача 14*. Докажите следующую теорему типа Фрагме-на — Линделефа для гармонических функций (о теоремах этого типа см. Е. М. Ландис. Уравнения второго пог.ядка эллиптического и параболического типов. — М.: Наука, 1971, гл. I, § 6): если и(х, у) —непрерывная функция в угле D = {(*, у): \у\ sg: ^xtga/2}, гармоническая внутри угла и равная нулю на сторонах, и если и (х, у) = о ((Vх2 + у2 )Л^) при V*2 + У2 ¦> °°.

где р > а, то и (х, у) = 0

Указание. Положим D R = D П {(*, у): V*2 + У2 ^ R}>

— первый момент выхода двумерного винеровского процесса

331
wt из Dr. Функция 2Л'^—аналитическая в угле D; Re (х + + (</)п/Р — гармоническая функция в том же угле. Пользуясь этим, выведите оценку

Рх, у { | wxR | ~ ^ (V*2 + У2 )Л/Р/[^л/Р cos (яа/(2р))].

Далее используйте формулу и (х, у) = Мл уи (wx^j.

8. У нас есть три способа использования марковских моментов: равенства, связанные с мартингалами, стохастические интегралы и строго марковское свойство. В этом параграфе мы показали, как применяются два первых способа; интересные результаты можно получить и при помощи строго марковского свойства.

Задача 15*. Пусть (wt, Рх)—семейство винеровских процессов, D — произвольное замкнутое множество, Г — борелевское подмножество его границы. Докажите, что р (х) = Рх {wx еГ) — гармоническая функция внутри D.

9. Какой вид принимают результаты п. 2 для вырожденных диффузий и параболических уравнений? Рассмотрим только случай диффузии с производящим

оператором Ylfx^^lfy7’ т' е' ДвУмеРн°й диффузии

(йУ<,т]<=т]о + 0-

Пусть D — замкнутая область вида {(х,у): 0^ x^f2(у)}, где fi и /2 — трижды непрерывно дифференцируемые функции (рис. 33).

Теорема существования и единственности (Фридман, 1968, гл. III, § 3). Пусть в криволинейном четырехугольнике D задана непрерывно дифференцируемая функция g{x,y), на боковых сторонах — трижды непрерывно дифференцируемые функции ф1(г/) и фi{y), на верхнем основании — трижды непрерывно дифференцируемая функция ф(х), причем выполняются условия согласования: Ф,-(^) +

+ \ ф" (ft (Т)) + g (fi (т), Т) = 0, / = 1, 2. Тогда суще-

332
ствует единственное решение v (х, у), (х, у) <= D, уравнения

удовлетворяющее на боковых сторонах и на верхнем основании условиям

причем это решение дважды непрерывно дифференцируемо вплоть до границы.

На нижнем основании никаких условий задавать не нужно.

Микротеорема 4. Пусть т — момент выхода процесса {wt,t\t) из D. Тогда функция

— единственное решение задачи (8) — (10).

Доказательство состоит в том, что мы продолжаем решение с сохранением гладкости за пределы области D, применяем к v{wt,y-\-t) формулу Ито и пользуемся формулой (4) с нужным изменением обозначений.

Зная связь краевых задач со случайными процессами, мы можем лучше понять, почему не нужно задавать никаких условий на нижнем основании D: точка (шх, %) просто не может оказаться принадлежащей нижнему основанию. Столь же понятен и факт из теории дифференциальных уравнений, состоящий в том, что v(xo, уо) не зависит от значений g(x, у), при

У < Уо.

10. Результаты п. 2 касались уравнения Lv = —g и математических ожиданий функционалов от траекторий диффузионного процесса ф(Ет) +
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed