Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Имеет место следующая теорема существования и единственности (Миранда, 1957, гл. V, § 36, теорема 36.1):
если D — компактная область с гладкой границей; коэффициенты оператора L непрерывно дифференцируемы, причем матрица (а‘<(х)) строго положительно определена; функция g, заданная в D, непрерывно дифференцируема, а функция ср, заданная на dD, трижды непрерывно дифференцируема, то существует (причем единственное) решение задачи Дирихле
дважды непрерывно дифференцируемое в D вплоть до границы.
D = {{х, у): | х | ^ &VА + У }> и функция
Lv(x) = — g{x), х:<=D;
v (х) = ф (х), x^dD,
(5)
(6)
328
Теоремы, касающиеся возможности гладкого продолжения функции за пределы замкнутой области, где она определена (Миранда (1957, гл. II, § 16)), дают нам возможность утверждать, что решение v(x) при выполнении указанных выше условий может быть продолжено до дважды непрерывно дифференцируемой функции в открытом множестве, содержащем D.
Микротеорема 3. Пусть коэффициенты диффузии и переноса диффузии (if, PJ непрерывно дифференцируемы, матрица диффузии невырождена-, пусть D — компактная область с гладкой границей-, и пусть в D задана непрерывно дифференцируемая функция g, а на границе dD этой области — трижды непрерывно дифференцируемая функция ср. Тогда
V (х) = М* (у + ^ g (if) dt
— единственное решение задачи (5) — (6).
Доказательство. Решение задачи Дирихле, как уже было сказано, существует; нужно доказать только, что оно есть среднее от указанного функционала от траектории ?<. Продолжим функцию v на все пространство дважды непрерывно дифференцируемым образом, сделав ее финитной. Определим случайную функцию rif формулой (2); тогда имеет место формула (4). Переходим в этой формуле к пределу при Т -у- оо, учитывая, что случайная величина под знаком М* мажорируется случайной величиной 1Ы1 + + ||Lu||t (математическое ожидание которой конечно по микротеореме 2):
v (х) = М* (У — ^ Lv (У ds
= М*?ф(У + ^(yctej- (7)
Микротеорема доказана. Частные случаи: и(х) — = М,Ф (У удовлетворяет уравнению Lu = Ос гранич-
X
ным условием и \aD = ф; v (х) = М* J g (У ds — уравне-
О
нию Lv = —g с нулевым условием на границе; пг(х) =
329
= М*т — уравнению Lm = —1 с нулевым граничным условием.
3. 3 а д а ч а 4. Пусть (w{, Р*) — семейство одномерных винеровских процессов, т — момент первого выхода из отрезка [с, d\. Докажите, что Рх {wx = а) = (х — c)l(d — с)', =
= (d — х) (х — с) для х е [с, d].
Задача 5. Для произвольной одномерной диффузии с коэффициентами диффузии а(х) > 0 и переноса Ь(х) найдите вероятность того, что процесс выйдет из отрезка [с, d] через правый конец.
Задача 6. Пусть (wt, Р*)— семейство двумерных винеровских процессов, D — кольцо между двумя окружностями di = {х\ \х\ = г} и д2 = {х: \х\ = У?}, т — момент выхода из D. Докажите, что Рх {wx е = (!п R — 1п | х |)/(1 п R — In г). Предельным переходом при Л—>-оо получите отсюда вероятность когда-либо достичь c?i; предельным переходом при г | 0 — вероятность достижения точки 0.
Задача 7. Найдите те же вероятности для трехмерного винеровского процесса.
Из результата задачи 6 можно вывести, что траектория двумерного винеровского процесса с вероятностью 1 рано или поздно проходит сколь угодно близко к любой точке плоскости; это же будет справедливо для любого невырожденного диффузионного процесса, для которого существует функция и, удовлетворяющая уравнению Lu = 0 вне некоторого компакта и такая, что и(х)->-—оо при |*| —>-оо. Из результата задачи 7 выводится, что \wt\->-оо при t —<- оо (почти наверное); мы уже получили это с помощью супермартингалов (задача 2 § 7.4).
Задач а. 8. Найдите математическое ожидание времени выхода /•-мерного винеровского процесса из шара {х: \х\ ^ R}.
Задача 9*. Найдите математическое ожидание времени
выхода двумерного винеровского процесса из угла-1 (х, у): \ у |
Задача 10*. Конечно ли математическое ожидание времени выхода трехмерного винеровского процесса из октанта {(х\ х2, X3): X1 0, хг^ 0, х3 - 0)?
4. Известно (Миранда, 1957, гл. I, § 10), что решение задачи Дирихле (5) — (6) может быть записано в виде
водная по внутренней нормали в точке у границы, day означает интегрирование по поверхностной мере на dD. Каков вероятностный смысл этой формулы?
Первый интеграл есть М* J g (?*) dt-, отсюда можно вывести, о
что математическое ожидание времени, проведенного процессом
о (*) = J G (х, у) g (у) dy + J (х, у) ф (у) day.
(х) = ^ G (х, y)g(y) dy + ^
D dD
330
в множестве ГеВ до момента т, равно j G (х, y)dy. Второй
г
интеграл равен Мхф (?t); отсюда получаем, что случайная точка
имеет плотность распределения относительно поверхностной
