Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это — аналог задачи 5 § 13.1.
Пусть теперь в r-мерном пространстве задан дифференциальный оператор с непрерывными коэффициентами L = ~ (gtf
;/ i Рх) — диффузия с производящим оператором L. Предположим, что это марковское семейство — феллеровское, т. е. соответствующая полугруппа переводит непрерывные ограниченные функции в непре-
рывные.
Микротеорема 1. Пусть D-—компакт, т — момент выхода из него. Пусть v(x) — дважды непре-
*) Почти такие же результаты можно получить для открытых D и моментов min {<: ф D} (см. Ито и Маккин(1968,
гл. 7)). Разница касается только более тонких результатов.
325
рывно дифференцируемая функция, определенная в Rr, обращающаяся в нуль вне некоторого компакта, содержащего D, и неотрицательная в D, и пусть Lv(x) —с < 0 при хей. Тогда Мхт c~xv (х) для
любого х е D.
Доказательство. Функция v принадлежит области определения инфинитезимального оператора диффузии; поэтому, согласно задаче 15 § 10.3, случайная функция
t
4t = v {It) — ^ Lv (У ds (2)
о
будет мартингалом относительно семейства ст-алгебр @~*^t (и любой из мер Р*). Это будет также мартингал относительно семейства ст-алгебр @~<^t+, потому что диффузия (У Рх) обладает марковским свойством относительно этого семейства ст-алгебр (в силу непрерывности траекторий и феллеровости; см. § 9.2). Из микротеоремы 3 § 7.3 вытекает, что для любого 7 0
МЛлг = М,Ло = М,о(ё0) = »(*), (3)
потому что х АТ — марковский момент относительно семейства ст-алгебр Из (3) получаем
Г т Аг
8W = MI ®(^Лг)- S Lv (y^J- (4)
Учитывая, что здесь
?«> Л т е
Lv (У < — с,
V (S-t Л г)
находим
v{x)^cbl\x{x Д Т).
Переходим к пределу при Т оо (пользуясь монотонностью т Л Т как функции от Т); получаем
v(x)^zc М*т,
что и требовалось доказать.
326
Приведенное доказательство можно обобщить на феллеров-ские марковские процессы с непрерывными справа траекториями.
Задача 3*. Пусть — семейство пуассоновских процессов с параметром а, выходящих из всевозможных точек прямой; т]* = |/ — at; Z) = [0, /]; Т = inf {/: r\t^D}. Докажите, что МХх ^ а~'х (I + 1 — х).
Доказательство микротеоремы 1 можно было бы провести, пользуясь не задачей 15 § 10.3 и свойствами мартингалов, а стохастическими интегралами. Если процесс задается стохастическим уравнением d\t = o(t,t)dwt + b(\f)dt, где wt — винеровский процесс, то случайная функция т]/, определяемая формулой (2),
t
есть почти наверное v (g0) + ^ @ (?s) dws, где @ — непрерывная
о
ограниченная векторная функция (см. § 12.5). Так же, как в § 12.2, получаем, что почти наверное riT д т = v (?0) + т
+ ^ @ (Ъ,5) %<х is)dwS’ ®еРя математическое ожидание М* от
о
обеих частей, получаем (3).
Микротеорема Г. Пусть D — замкнутое множество, v(x)— дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в некотором открытом множестве, содержащем D (не предполагается, что функция v или ее производные ограничены). Если v (x) J:? 0, Lv(x) —с < 0 в D, то M*t c~'v (х).
Доказательство. Введем компакты DN = D П П{х: |jc|^yV}; %N — моменты выхода из Dn. Ясно, что тлг|т при N —*¦ оо. Изменим функцию v вне Dn так, чтобы она осталась гладкой, но сделалась финитной. Оператор L — локальный, так что Lv(x) в DN останется прежним. По микротеореме 1 ^ c~lv (х)
при x^DN\ отсюда M*t = lim М^тд, c~lv (х) для
N -> оо
всех jcgD.
Приведем конкретные примеры применения доказанных микротеорем.
Микротеорема 2. Пусть множество D расположено в пределах полосы {jc: | х11 ^ R}; пусть коэффициент диффузии вдоль первой координаты а11 (х) не меньше а0 > 0 при х ^ D, а коэффициент переноса Ь1(х) не превосходит по модулю константы В. Тогда ЪЛХ% конечно и ограничено в D.
Доказательство. Положим u(jt) = ch CR —
— ch Сх\ где С — константа (a ch — гиперболический косинус). Функция v(x) неотрицательна в D\ найдем
327
Lv(x):
Lv(x) = —Ya" № ^x‘ — Cbl (A')shCx1.
Положим
C = 45/oo;
тогда будет
Lv (я) ^------------2~ aQ ch Cxl + — aQ sh С | xl | ^
<-----^-a0chL'x‘ ^-----^-a0-
Отсюда по микротеореме 1'
Второе применение — к задаче 4* § 12.1: рассматриваются
v(x, у)= Ь2(А +у) — х2.
2. Перейдем теперь к задаче Дирихле.
Будем говорить, что D — замкнутая область, если множество D замкнуто, множество его внутренних точек связно и любая точка D — предельная для внутренних точек (Миранда, 1957, гл. I, § 1). Границу 3D области будем называть гладкой, если в окрестности любой своей точки она представляется уравнением x1=f(x2, ..., хг), или x2 = f(x1,x3, ... ..., хг), ..., или xr = f(x\ ..., л/-1), где f — трижды непрерывно дифференцируемая функция.