Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 119

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 146 >> Следующая


Это — аналог задачи 5 § 13.1.

Пусть теперь в r-мерном пространстве задан дифференциальный оператор с непрерывными коэффициентами L = ~ (gtf

;/ i Рх) — диффузия с производящим оператором L. Предположим, что это марковское семейство — феллеровское, т. е. соответствующая полугруппа переводит непрерывные ограниченные функции в непре-

рывные.

Микротеорема 1. Пусть D-—компакт, т — момент выхода из него. Пусть v(x) — дважды непре-

*) Почти такие же результаты можно получить для открытых D и моментов min {<: ф D} (см. Ито и Маккин(1968,

гл. 7)). Разница касается только более тонких результатов.

325
рывно дифференцируемая функция, определенная в Rr, обращающаяся в нуль вне некоторого компакта, содержащего D, и неотрицательная в D, и пусть Lv(x) —с < 0 при хей. Тогда Мхт c~xv (х) для

любого х е D.

Доказательство. Функция v принадлежит области определения инфинитезимального оператора диффузии; поэтому, согласно задаче 15 § 10.3, случайная функция

t

4t = v {It) — ^ Lv (У ds (2)

о

будет мартингалом относительно семейства ст-алгебр @~*^t (и любой из мер Р*). Это будет также мартингал относительно семейства ст-алгебр @~<^t+, потому что диффузия (У Рх) обладает марковским свойством относительно этого семейства ст-алгебр (в силу непрерывности траекторий и феллеровости; см. § 9.2). Из микротеоремы 3 § 7.3 вытекает, что для любого 7 0

МЛлг = М,Ло = М,о(ё0) = »(*), (3)

потому что х АТ — марковский момент относительно семейства ст-алгебр Из (3) получаем

Г т Аг

8W = MI ®(^Лг)- S Lv (y^J- (4)

Учитывая, что здесь

?«> Л т е

Lv (У < — с,

V (S-t Л г)

находим

v{x)^cbl\x{x Д Т).

Переходим к пределу при Т оо (пользуясь монотонностью т Л Т как функции от Т); получаем

v(x)^zc М*т,

что и требовалось доказать.

326
Приведенное доказательство можно обобщить на феллеров-ские марковские процессы с непрерывными справа траекториями.

Задача 3*. Пусть — семейство пуассоновских процессов с параметром а, выходящих из всевозможных точек прямой; т]* = |/ — at; Z) = [0, /]; Т = inf {/: r\t^D}. Докажите, что МХх ^ а~'х (I + 1 — х).

Доказательство микротеоремы 1 можно было бы провести, пользуясь не задачей 15 § 10.3 и свойствами мартингалов, а стохастическими интегралами. Если процесс задается стохастическим уравнением d\t = o(t,t)dwt + b(\f)dt, где wt — винеровский процесс, то случайная функция т]/, определяемая формулой (2),

t

есть почти наверное v (g0) + ^ @ (?s) dws, где @ — непрерывная

о

ограниченная векторная функция (см. § 12.5). Так же, как в § 12.2, получаем, что почти наверное riT д т = v (?0) + т

+ ^ @ (Ъ,5) %<х is)dwS’ ®еРя математическое ожидание М* от

о

обеих частей, получаем (3).

Микротеорема Г. Пусть D — замкнутое множество, v(x)— дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная в некотором открытом множестве, содержащем D (не предполагается, что функция v или ее производные ограничены). Если v (x) J:? 0, Lv(x) —с < 0 в D, то M*t c~'v (х).

Доказательство. Введем компакты DN = D П П{х: |jc|^yV}; %N — моменты выхода из Dn. Ясно, что тлг|т при N —*¦ оо. Изменим функцию v вне Dn так, чтобы она осталась гладкой, но сделалась финитной. Оператор L — локальный, так что Lv(x) в DN останется прежним. По микротеореме 1 ^ c~lv (х)

при x^DN\ отсюда M*t = lim М^тд, c~lv (х) для

N -> оо

всех jcgD.

Приведем конкретные примеры применения доказанных микротеорем.

Микротеорема 2. Пусть множество D расположено в пределах полосы {jc: | х11 ^ R}; пусть коэффициент диффузии вдоль первой координаты а11 (х) не меньше а0 > 0 при х ^ D, а коэффициент переноса Ь1(х) не превосходит по модулю константы В. Тогда ЪЛХ% конечно и ограничено в D.

Доказательство. Положим u(jt) = ch CR —

— ch Сх\ где С — константа (a ch — гиперболический косинус). Функция v(x) неотрицательна в D\ найдем

327
Lv(x):

Lv(x) = —Ya" № ^x‘ — Cbl (A')shCx1.

Положим

C = 45/oo;

тогда будет

Lv (я) ^------------2~ aQ ch Cxl + — aQ sh С | xl | ^

<-----^-a0chL'x‘ ^-----^-a0-

Отсюда по микротеореме 1'

Второе применение — к задаче 4* § 12.1: рассматриваются

v(x, у)= Ь2(А +у) — х2.

2. Перейдем теперь к задаче Дирихле.

Будем говорить, что D — замкнутая область, если множество D замкнуто, множество его внутренних точек связно и любая точка D — предельная для внутренних точек (Миранда, 1957, гл. I, § 1). Границу 3D области будем называть гладкой, если в окрестности любой своей точки она представляется уравнением x1=f(x2, ..., хг), или x2 = f(x1,x3, ... ..., хг), ..., или xr = f(x\ ..., л/-1), где f — трижды непрерывно дифференцируемая функция.
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed